回転力学の例題

回転力学に関する11の例

スタイルの瞬間

1.長さ140cmの非常に軽い棒。棒には3つの力が作用する。F1 ₌ 20ニュートン、_F2 = 10ニュートン、F3 ₌ 40ニュートンで、それぞれの方向と位置は図に示すとおりである。棒を重心を中心に回転させる力のモーメントの大きさは…

A. 40 Nm

B. 39 Nm

C. 28 Nm

D. 14 Nm

E. 3 Nm

討論

以下のことが知られています。

棒の重心は棒の中央にある。

棒の長さ (l) = 140 cm = 1,4 メートル

力1（F1 _） = 20 N、力アーム1（l1 _） = 70 cm = 0,7メートル

力2（F2 _） = 10 N、力の作用点2（l2 _） = 100 cm - 70 cm = 30 cm = 0,3メートル

力3（F3 _） = 40 N、力アーム3（l3 _） = 70 cm = 0,7メートル

質問：棒を重心を中心に回転させる力のモーメントの大きさは？

ジャワブ：

モーメント1によって棒は時計回りに回転する。したがって、モーメント1は負の値となる。

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0,7 m) = -14 N m

モーメント2によって棒は反時計回りに回転する。したがって、モーメント2は正の値である。

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0,3 m) = 3 N m

モーメント3によって棒は時計回りに回転する。したがって、モーメント3は負の値となる。

τ ₃ = F ₃ l ₃ = (40 N)(0,7 m) = -28 N m

合力モーメント：

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

力のモーメントの大きさは39ニュートンメートルです。負の符号は、棒が反時計回りに回転することを意味します。

正解はBです。

2.質量を無視した棒ABは水平に配置され、図に示すように3つの力が作用します。棒がDの軸を中心に回転したときの、棒に作用する合力モーメントは…（sin 53 ^o = 0,8）

A. 2,4 N m

B. 2,6 N m

C. 3,0 N m

D. 3,2 N m

E. 3,4 N m

討論

周知の事実として、以下のことが挙げられます。

回転軸または支点は点Dに位置する。

F ₁ = 10 N および l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 メートル

F ₂ = 10√2 N および l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0,2 m)(0,5√2) = 0,1√2 メートル

F ₃ = 20 N および l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 メートル

質問：力の合力モーメント

答え：

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm

（この力のモーメントによってブロックが反時計回りに回転するため、正の値となる）

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm

（この力のモーメントによってブロックが時計回りに回転するため、負の値となる）

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm

（この力のモーメントによってブロックが反時計回りに回転するため、正の値となる）

合力モーメント：

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3,2 Nm

正解はDです。

3.質量を無視した棒ABは水平に配置され、図に示すように3つの力が作用します。棒がDの軸を中心に回転したときの、棒に作用する合力モーメントは…（sin 53 ^o = 0,8）

A. 2,4 Nm

B. 2,6 Nm

C. 3,0 Nm

D. 3,2 Nm

E. 3,4 Nm

討論

周知の事実として、以下のことが挙げられます。

回転軸はDの位置にある。

_F1と回転軸間の距離（ _rAD）= 40 cm = 0,4 m

_F2と回転軸間の距離（ _rBD）= 20 cm = 0,2 m

_F3と回転軸間の距離（ _rCD）= 10cm = 0,1m

F ₁ = 10ニュートン

F ₂ = 10√2 ニュートン

F ₃ = 20ニュートン

sin 53 ^° = 0,8

質問：棒が点Dの軸を中心に回転した場合の合力モーメントは？

答え：

それぞれの力によって生じる力のモーメントを計算してください。

力のモーメント 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm

力1のモーメントは、力1のモーメントによって生じる棒の回転方向が反時計回りであるため、正の値となる。

力のモーメント 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm

力2のモーメントが負になるのは、力2のモーメントによって生じる棒の回転方向が、時計の針の回転方向と同じであるためです。

力のモーメント 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm

力3のモーメントは、力3のモーメントによって生じる棒の回転方向が反時計回りであるため、正の値となる。

合力モーメント

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3,2 – 2 + 2

Στ = 3,2ニュートンメートル

正解はDです。

慣性モーメント

4.ワイヤーでつながれた2つの球の図を考えます。ワイヤーの長さは12m、l1 ₌ 4mで、ワイヤーの質量は無視します。したがって、システムの慣性モーメントの大きさは…

A. 52,6 kg m²

B. 41,6 kg/ ^m³

C. 34,6 kg/ ^m³

D. 22,4 kg/ ^m³

E. 20,4 kg/ ^m³

討論

周知の事実として、以下のことが挙げられます。

球Aの質量（m _A）= 0,2 kg

球体Bの質量（m _B）= 0,6 kg

球Aと回転軸間の距離（r _A）＝4メートル

球Bと回転軸間の距離（rB _）＝12－4＝8メートル

質問：システムの慣性モーメント（I）は？

答え：

球Aの慣性モーメント

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0,2)(4) ² = (0,2)(16) = 3,2 kg m ²

球Bの慣性モーメント

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0,6)(8) ² = (0,6)(64) = 38,4 kg m ²

粒子系の慣性モーメント：

I = I _A + I _B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m ²

正解はBです。

ニュートンの回転運動に関する第二法則

5.横にある均質な固体の車輪の画像を見てください。車輪の縁に紐が巻き付けられ、紐の端が6Nの力Fで引っ張られます。車輪の質量が5kg、半径が20cmの場合、車輪の角加速度は…

A. 0,12 rad/s^-2

B. 1,2 rad s ^–2

C. 3,0 rad s ^–2

D. 6,0 rad s ^–2

E. 12,0 rad s ^–2

討論

以下のことが知られています。

引張力（F）＝6ニュートン

車輪の質量 (M) = 5 kg

車輪半径（R）= 20 cm = 20/100 m = 0,2 m

質問：車輪の角加速度（α）

ジャワブ：

力のモーメントを計算してください。

τ = FR = (6ニュートン)(0,2メートル) = 1,2ニュートンメートル

慣性モーメントを計算してください。

円盤または板状の固体車輪の慣性モーメントの公式は、1/2 MR ² = 1/2 (5 kg)(0,2 m) ² = 1/2 (5 kg)(0,04 m ² ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m ²です。

回転運動学の公式を用いて角加速度を計算します。

τ = I α

α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad s ^-2

正解はEです。

6.質量8kg、半径10cmの円盤状の滑車が、片端に4kgの荷重が結び付けられたロープの端に巻き付けられている（g = 10 ms⁻² ^）。荷重の下降運動の加速度は…

A. 2,5 ms ^–2

B. 5,0 ms ^–2

C. 10,0 ms ^–2

D. 20,0 ms ^–2

E. 33,3 ms ^–2

討論

以下のことが知られています。

固体円盤プーリーの質量 (m) = 8 kg

ソリッドディスクプーリーの半径 (r) = 10 cm = 0,1 メートル

荷物の質量 (m) = 4 kg

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

荷重の重量 (w) = mg = (4 kg)(10 m/s ² ) = 40 kg m/s ² = 40 ニュートン

質問：荷物の下降運動の加速度

ジャワブ：

固体円盤の慣性モーメントを計算してください。

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0,1 m) ² = (4 kg)(0,01 m ² ) = 0,04 kg m ²

力のモーメントを計算してください。

τ = F r = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm

回転運動に関するニュートンの第二法則の公式を用いて角加速度を計算してください。

Στ = I α

4 = 0,04 α

α = 4 / 0,04 = 100

荷物の下降運動の加速度を計算してください。

a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s ²

正解はCです。

7.図に示すような質量 (M) と半径 (R) の固体滑車! 質量のないロープの一端を滑車に巻き付け、ロープのもう一方の端に m kg の荷重を吊り下げます。荷重を解放したときの滑車の角加速度 (α) を求めます。質量 1/2 M の粘土 A を滑車に取り付けた場合、同じ角加速度を生み出すには、荷重を次のようにする必要があります。(I 滑車 = 1/2 MR ² )

A. 3/4 m kg

B. 3/2 m kg

C. 2 m kg

D. 3 m kg

E. 4 m kg

討論

周知の事実として、以下のことが挙げられます。

荷物の質量 = m

負荷重量 = w = mg

固体滑車の質量 = M

ソリッドプーリーの半径 = R

滑車の角加速度 = α

質問:

滑車の質量が M + M/2 = 3M/2 に増加し、滑車の角加速度が α になった場合、負荷の質量はいくらですか？

答え：

粘土を使用しない滑車の慣性モーメント：

I = 1/2 MR ² = 0,5 MR ²

滑車＋粘土の慣性モーメント：

I = 1/2 (3M/2) R ² = (3M/4) R ² = 0,75M R ²

力のモーメント：

τ = FR

ニュートンの回転運動に関する第二法則：

Στ = I α

w R = I α

mg R = I α

α = mg R / I

同じ角加速度を生み出すには、負荷の質量を… 式2のαを式1のαで置き換える必要があります。

正解はBです。

8.図に示すように、外側にロープが巻き付けられた固体の滑車が示されています。滑車とロープの摩擦、および滑車の回転軸での摩擦は無視します。負荷が一定の加速度 a ms ^-2で下降する場合、滑車の慣性モーメントの値は…に等しくなります。

A. I = τ α R

B. I = τ α ^-1 R

C. I = τ a R

D. I = τ a ^-1 R ^-1

E. I = τ a R ^-1

討論

以下のことが知られています。

力 = w = mg

力の腕 = R

角加速度 = α

負荷の加速度 = a ms ^-2

質問：滑車の慣性モーメント（I）

ジャワブ：

線形加速度と角加速度の関係：

a = R α

α = a / R

慣性モーメントは次の式を用いて計算されます。

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

正解はありません。

9.図に示すように、外側にロープが巻き付けられた固体の滑車が示されています。滑車の摩擦は無視します。滑車の慣性モーメントが I = β で、ロープが一定の力 F で引っ張られる場合、F の値は…に等しくなります。

A. F = α . β . R

B. F = α . β ² . R

C. F = α . (β . R) ^-1

D. F = α . β . (R) ^-1

E. F = R . (α . β) ^-1

討論

以下のことが知られています。

引張力 = F

滑車の慣性モーメント = β

滑車の角加速度 = α

プーリーの半径 = R

質問： Fの値は…に相当します。

ジャワブ：

ニュートンの第二法則による回転運動の公式：

Στ = β α ———- 式 1

数式の説明：

Στ = 合力モーメント (トルク)

β = 慣性モーメント

α = 角加速度

滑車に作用する力の合成モーメント：

Στ = FR ———-> 式 2

数式の説明：

F = 引張力

R = 力Fの作用点から回転軸までの距離 = 滑車の半径

式 1 の Στ を式 2 の Στ に置き換えます。

Στ = β . α

F . R = β . α

F = (β . α) / R

F = β . α . (R ^-1 )

正解はDです。

角運動量

10.質量0,2グラムの粒子が、一定の角速度10 rad s⁻¹^で円運動をしている。粒子の軌道の半径が3cmの場合、粒子の角運動量は…

A. 3 × 10 ^–7 kg m ² s ^-1

B. 9 × 10 ^–7 kg m ² s ^-1

C. 1,6 × 10 ^–6 kg m ² s ^-1

D. 1,8 × 10 ^–4 kg m ² s ^-1

E. 4,5 × 10 ^–3 kg m ² s ^-1

討論

以下のことが知られています。

粒子質量 (m) = 0,2グラム = 2 x ^10⁻⁴ kg

角速度 (ω) = 10 rad ^s⁻¹

粒子の軌道半径 (r) = 3 cm = 3 × ^10⁻²メートル

質問:粒子の角運動量

ジャワブ：

角運動量の公式：

L = I ω

説明：I = 角運動量、I = 慣性モーメント、ω = 角速度

粒子の慣性モーメント：

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

角運動量とは：

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

正解はありません。

11.ダンサーが両腕を160cmまで伸ばした状態で回転します。その後、両腕を肘で折り曲げ、80cmの長さにします。ダンサーの角速度が一定である場合、彼女の線運動量は…

A.まだ

B.は元のサイズの1/2になる

C.は元のサイズの3/4になる

Dは元の2倍になる

Eは元の4倍になる

討論

以下のことが知られています。

半径1（r1 _）＝160cm

半径2（r2 _）＝80cm

角速度 1 (ω ₁ ) = ω

角速度 1 (ω ₂ ) = ω

質問:線形運動量

ジャワブ：

線速度1：

v ₁ = r ₁ ω ₁ = (160 cm) ω

線速度2：

v ₂ = r ₂ ω ₂ = (80 cm) ω

線運動量1：

p = mv ₁ = m (160 cm) ω

線運動量2：

p = mv ₂ = m (80 cm) ω

つまり、線運動量は元の値の1/2倍になる。

正解はBです。

質問元:

高校・職業高校向け全国統一試験物理問題