שימור אנרגיה מכנית על משטחי עקומה - בעיות ופתרונות

שימור אנרגיה מכנית על משטחי עקומה - בעיות ופתרונות

1. אם מהירות הכדור בנקודה A היא 6 מטר/שנייה, מהירות הכדור בנקודה B היא √92 מטר/שנייה, ותאוצת הכבידה היא g = 10 מטר/שנייה ^2. מהו גובה נקודה B (h)?

ידוע:

מהירות הכדור בנקודה A (v_A) = 6 מטר/שנייה

מהירות הכדור בנקודה B (v _B ) = √92 מטר/שנייה

תאוצת כוח הכבידה (g) = 10 מטר/שנייה ²

גובהו של A (h _A ) = 5.6 מטרים

גובה B (h _B ) = h

מבוקש: גובה נקודה B (h)

פתרון:

האנרגיה המכנית ההתחלתית = אנרגיית הפוטנציאל הכבידתית

בנקודה A, מהירות הכדור = 0, לכן האנרגיה הקינטית של הכדור = 0. KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

הכדור בגובה של 5.6 מטרים ולכן לכדור יש אנרגיה פוטנציאלית כבידתית. האנרגיה הפוטנציאלית כבידתית : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m

האנרגיה המכנית ההתחלתית = האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית + האנרגיה הקינטית = 56 מטר + 0 = 56 מטר

האנרגיה המכנית הסופית = אנרגיית הפוטנציאל הכבידתית + אנרגיה קינטית

בנקודה B, גובה הכדור הוא h. אנרגיית הפוטנציאל הכבידתית: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

האנרגיה הקינטית של הכדור: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ^{² =} 1/2 m (92) = 46 m

האנרגיה המכנית הסופית = האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית + האנרגיה הקינטית = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

עקרון שימור האנרגיה המכנית:

האנרגיה המכנית ההתחלתית = האנרגיה המכנית הסופית

56 דקות = דקות (10 שעות + 46)

56 = 10 שעות + 46

56 – 46 = 10 שעות

10 = 10 שעות

שעה = 10/10

h = 1 מטרים

2.

אם המהירות ההתחלתית = 0, ותאוצת הכבידה = 10 מטר/שנייה ² , אז מהי המהירות בגובה B.

ידוע:

המהירות ההתחלתית (v _o ) = 0

הגובה ההתחלתי (h _o ) = 50 מטר – 10 מטר = 40 מטר

הגובה הסופי (ht ₎ = 0

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מילישניות ^-2

מבוקש: המהירות הסופית (v _t )

פתרון:

שינוי האנרגיה הקינטית:

ΔKE = 1/2 מ' (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 מ' (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

שינוי האנרגיה הפוטנציאלית:

ΔPE = mg(ht _– h _o ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = – 400 m

חשב את המהירות הסופית (v _t ) באמצעות משוואת עקרון שימור האנרגיה המכנית :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 מטר

1/2 mv _t² = 400 ^מטר

1/2 וולט _t² = ⁴⁰⁰

vt² = ₂ (400 ⁾

vt ₌ √(400)(2)

v _t = 20√2 מטר/שנייה

1. מה הכוונה ב"שימור אנרגיה מכנית"?
   • תשובה: שימור אנרגיה מכנית פירושו שסך האנרגיה המכנית (סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית) של מערכת מבודדת נשאר קבוע אם רק כוחות משמרים, כמו כוח הכבידה, פועלים עליה.
2. כיצד חפץ הנע על משטח מעוקל (כמו כדור שמתגלגל במורד רמפה מעוקלת) שומר על אנרגיה מכנית שלו?
   • תשובה: כאשר העצם נע במורד המשטח המעוקל, אנרגיה פוטנציאלית מומרת לאנרגיה קינטית, אך האנרגיה המכנית הכוללת נשארת קבועה, בהנחה שאין כוחות לא משמרים (כמו חיכוך) שמבצעים עבודה.
3. אם כדור משתחרר ממנוחה בראש רמפה מעוקלת, כיצד משתנה האנרגיה הקינטית שלו כשהוא נע במורד הרמפה?
   • תשובה: האנרגיה הקינטית של הכדור עולה ככל שהוא נע במורד הרמפה מכיוון שהאנרגיה הפוטנציאלית שלו פוחתת ומומרת לאנרגיה קינטית.
4. בהיעדר חיכוך, כיצד תשווה מהירות הכדור בתחתית מגלשה מעוקלת למגלשה ישרה באותו גובה?
   • תשובה: מהירות הכדור בתחתית תהיה זהה הן במגלשה המעוקלת והן במגלשה ישרה, מכיוון שהמרת אנרגיה פוטנציאלית לאנרגיה קינטית תלויה רק ​​בגובה האנכי, לא במסלול הנלקח.
5. מדוע כדור עלול לא להגיע לגובהו המקורי כאשר הוא מתגלגל במעלה רמפה מעוקלת לאחר ירידה מגובה מסוים?
   • תשובה: אם פועלים על הכדור כוחות לא משמרים כמו חיכוך, הם יבצעו עבודה נגד התנועה, וימירו חלק מהאנרגיה המכנית של הכדור לצורות אחרות, כמו חום. כתוצאה מכך, ייתכן שלא תהיה לכדור מספיק אנרגיה כדי להגיע לגובהו המקורי.
6. אם שני עצמים בעלי צורות שונות (למשל, כדור וקובייה) מחליקים במורד רמפה מעוקלת מאותו גובה מבלי להתגלגל, האם תהיה להם אותה מהירות בתחתית? מדוע?
   • תשובה: כן, תהיה להם אותה מהירות בתחתית. בהנחה שאין גלגול ואין חיכוך, הגורם היחיד שקובע את מהירותם הוא שימור האנרגיה המבוסס על הגובה ההתחלתי, לא צורתם.
7. כיצד משפיעה עקמומיות של משטח על הכוח הנורמלי על גוף הנע לאורכו?
   • תשובה: העקמומיות גורמת לשינוי כיוון הכוח הנורמלי ככל שהעצם נע. על משטח קעור כלפי מעלה (כמו פנים קערה), הכוח הנורמלי גדול יותר בתחתית עקב הכוח הצנטריפטלי הנדרש לתנועה עקומה. לעומת זאת, על משטח קמור, הכוח הנורמלי יכול לרדת או אפילו להתאפס (העצם עוזב את המשטח) בנקודה העליונה ביותר.
8. איזה תפקיד ממלא רדיוס העקמומיות בשימור אנרגיה מכנית על משטח עקום?
   • תשובה: רדיוס העקמומיות עצמו אינו משפיע ישירות על שימור האנרגיה המכנית. עם זאת, הוא יכול להשפיע על הכוח הנורמלי, ואם יש חיכוך, על כמות האנרגיה שאובדת לכוחות שאינם משמרים.
9. אם למסילה יש שקע באמצע (כמו עקומה בצורת U), כיצד משתנה האנרגיה המכנית של עצם כשהוא נע דרך השקע ומעלה לצד השני?
   • תשובה: האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף תפחת ככל שהוא נע לתוך השקע ותגדיל את האנרגיה הקינטית שלו. ככל שהוא נע מעלה בצד השני, האנרגיה הקינטית שלו תפחת, והאנרגיה הפוטנציאלית שלו תגדל. אם פועלים רק כוחות משמרים, האנרגיה המכנית הכוללת נשארת קבועה לאורך כל התנועה.
10. האם לעצם יכול להיות גם אנרגיה קינטית תרגומית וגם אנרגיה קינטית סיבובית כשהוא נע על משטח עקום?

• תשובה: כן, אם חפץ כמו כדור מתגלגל (מבלי להחליק) על משטח מעוקל, תהיה לו אנרגיה קינטית תרגומית עקב תנועת מרכז המסה שלו ואנרגיה קינטית סיבובית עקב סיבובו סביב צירו.