הוספת וקטורים

מאמר על חיבור וקטורים

1. כמויות של וקטור וסקלר

בנוסף לכמויות הבסיסיות והנגזרות, ניתן עדיין לחלק כמויות פיזיקליות לשני סוגים נוספים, דהיינו כמויות סקלריות וכמויות וקטוריות. כמויות כמו מסה, מרחק, זמן ונפח הן כמויות סקלריות, כמויות שיש להן רק גודל אך אין להן כיוון. בעוד שגדלים כמו תזוזה, מהירות, תאוצה וכוח הן כמויות וקטוריות, כמויות שיש להן גם גודל וגם כיוון.

א. ההבדל בין כמות s קלאר לכמות וקטורית

אם אתם אומרים שמסת הכדור היא 400 גרם, משפט זה מספיק כדי לדעת את מסת הכדור. אינכם זקוקים לכיוון כדי לגלות את מסת הכדור. כך גם לגבי זמן, טמפרטורה, נפח, צפיפות וכו'. ישנם מספר כמויות פיזיקליות שלא ניתן לבטא אותן רק בגודל. אם אתם אומרים שילד נע עד 100 מטרים, אז משפט זה אינו מספיק. אתם עשויים לשאול, לאן הוא נע? האם זה צפון, דרום, מזרח או מערב? באופן דומה, אם אתם אומרים שאתם דוחפים את השולחן בכוח של 200 ניוטון.

לאן אתה נוהג? ובכן, כמויות כאלה נקראות כמויות וקטוריות, הדושות הסבר של הגודל והכיוון שלהן. דוגמאות לכמויות וקטוריות הן תזוזה, תאוצה, דחף, תנע וכו'. ניתן להבין זאת בצורה ברורה יותר כאשר לומדים נושאים הקשורים לכמויות אלו.

ב. צייר וקטור

וקטור מסומן על ידי חץ. החץ מצויר תמיד כך שמצביע בכיוון הווקטור. אורך החץ מתואר כגודל הווקטור. לדוגמה, באיור של וקטור כוח (F) בעל גודל של 2 ניוטון שכיוונו לכיוון צפון-מזרח או 45 ^מעלות סביב ציר ה-x.

ג. כללים לכתיבת כמויות של וקטור

בכתיבת וקטור, אם משתמשים בכתב יד, סמל הווקטור נכתב בדרך כלל באותיות גדולות נטויות, ומעליו יש להוסיף חץ. עבור ספרים מודפסים, סמלי וקטור נכתבים באותיות גדולות מודגשות, לדוגמה, F. עבור גודל הווקטור, אם משתמשים בכתב יד אז גודל הווקטור נכתב, לדוגמה, |F|. עבור ספרים מודפסים, גודל הווקטור נכתב באותיות נטוי, לדוגמה , F.

2. חיבור וקטורים - שיטות גרפיות

ישנן מספר דרכים לחבר וקטורים בצורה גרפית, כולל שיטת הזנב לקצה ושיטת המקבילית.

א. שיטת "זנב לקצה" של חיבור וקטורים

וקטורים A ו-B ידועים. וקטור A = 3 ס"מ חופף לציר ה-x (לכיוון מזרח). וקטור B = 2 ס"מ יוצר זווית של 30 ^מעלות לציר ה-x (לכיוון צפון-מזרח). חברו את A ו-B בצורה גרפית בשיטת הזנב-לקצה. א) R = A + B ב) R = A – B

גודל הווקטור המתקבל (R) נמדד באמצעות סרגל. כיוונו של הווקטור המתקבל נמדד באמצעות מד זווית.

וקטורים ידועים A, B ו-C. וקטור A = 3 ס"מ חופף לציר ה-x (לכיוון מזרח). וקטור B = 2 ס"מ יוצר זווית של 30 ^מעלות לציר ה-x (לכיוון צפון-מזרח). וקטור C = 1 ס"מ יוצר זווית של 60 ^מעלות לציר ה-x (לכיוון צפון-מזרח). חברו את A, B ו-C בצורה גרפית באמצעות שיטת הזנב לקצה.

א) R = A + B + C

ב) R = A – B – C

הווקטור המתקבל (R) נמדד באמצעות סרגל. כיוונו של הווקטור המתקבל נמדד באמצעות מד זווית.

ב. שיטת המקבילית

וקטורים ידועים A, B ו-C. וקטור A = 3 ס"מ חופף לציר ה-x (לכיוון מזרח). וקטור B = 2 ס"מ יוצר זווית של 30 ^מעלות לציר ה-x (לכיוון צפון-מזרח). וקטור C = 1 ס"מ יוצר זווית של 60 ^מעלות לציר ה-x (לכיוון צפון-מזרח). חברו את A, B ו-C בצורה גרפית באמצעות מקבילית.

א) R = A + B

ב) R = A – B

ג) R = A + B + C

ד) R = A – B – C

הווקטור המתקבל (R) נמדד באמצעות סרגל. כיוונו של הווקטור המתקבל נמדד באמצעות מד זווית.

3. חיבור וקטורים – אאנליטית שיטה

קביעת גודל וכיוונו של הווקטור המתקבל באמצעות השיטה הגרפית היא גישה אחת. דיוק התוצאות תלוי בדיוק ובדיוק שלך בשרטוט ובקריאת קנה המידה. גודל וכיוונו של הווקטור המתקבל מתקבלים בצורה מדויקת יותר באמצעות חישובים מתמטיים.

א. חישוב סכום של 2 וקטורים באמצעות כלל הקוסינוס

הנוסחה לקביעת גודל הווקטור המתקבל:

הנוסחה לקביעת כיוון הווקטור המתקבל:

C = וקטור שנוצר

A = וקטור 1

B = וקטור 2

cos ∠(A, B) = זווית הנוצרת על ידי וקטורים A ו-B

בעיה לדוגמה 1:

F1 = 2N יוצר זווית של 30 סביב ציר ה-x, F2 ₌ 3N יוצר זווית של 60 ^מעלות _סביב ציר ה-x, θ = 30 ^מעלות.

בעיה לדוגמה 2:

F1 = 2N חופף לציר ה-x, F2 ₌ 3N יוצר זווית של 90 ^מעלות _סביב ציר ה-x, θ = 90 ^מעלות.

ב. חיבור וקטורים לפי רכיבים

סקור וקטור F היוצר זווית מסוימת סביב ציר ה-x, כפי שמוצג באיור למטה. Fx _ו- Fy _הם וקטורים רכיביים של וקטור F.

גודל וקטור הרכיב נקבע באמצעות הנוסחה:

Fx ₌ Fcosθ

Fy = Fsin _θ

סקור את שני הווקטורים F₁ ו- F₂ אשר יוצר זווית מסוימת סביב ציר ה-x, כפי שמוצג באיור למטה. F_1x ו- F_1y הם רכיבים של וקטור F₁, אז פ_2x ו- F_2y הם רכיבים של וקטור F₂.

וקטור הרכיב נקבע באמצעות הנוסחה:

F_1x =F₁ קוס θ

F1y = _F1 sin _θ

F2x ₌ F2 _cos θ

F1y = _F1 sin _θ

חיבור הווקטורים המרכיבים:

Fx = _F1x + _F2x​

F _y = _F1y + _F2y

הווקטור המתקבל נקבע באמצעות הנוסחה:

כיוון הווקטור המתקבל נקבע באמצעות הנוסחה:

בעיה לדוגמה 1:

קבע את רכיבי וקטור F שגודלו 20 N ויוצרים זווית של 30 ^מעלות סביב ציר ה-x.

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

בעיה לדוגמה 2:

F1 = ₂₀ N יוצר זווית של 30 ^מעלות סביב ציר ה-x ו-F2 ₌ 15 N יוצר זווית של 180 מעלות סביב ציר ה-x. קבע את גודלו וכיוונו של הווקטור המתקבל.

F1x ₌ (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F2x = F1 ₌ – 15 _ניוטון

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F2y ₌ 0

חיבור הווקטורים המרכיבים:

Fx ₌ F1x – F2x _{= 17N} – 15N = 2N

F _y = 10 N

הווקטור המתקבל:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 22 ⁺ 102 ^{= 4} + 100 ⁼ ₁₀₄

F = 10.2N

כיוון הווקטור המתקבל:

θ = tan −15 = 78.7 ^o סביב ציר ה-x

בעיה לדוגמה 3:

F₁, F_2, ו- F₃ הם 20 צפון, 30 צפון ו-40 צפון.₁ יוצר זווית של 60^o סביב ציר ה-x, F₂ יוצר זווית של 150^o סביב ציר ה-x, ו-F₃ יוצר זווית של 315^o סביב ציר ה-x. קבע את גודלו וכיוונו של הווקטור המתקבל.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F2x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F3x ₌ (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

הוספת וקטור הרכיב:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x _{= 10N} – 26N + 28N = 12N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

וקטור תוצאה:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 122 ^{+ 42 =} 144 + 16 ^{= 160}

F = 13N

כיוון הווקטור המתקבל:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o סביב ציר ה-x