Lögmál Hookes og teygjanleiki – vandamál og lausnir

Lögmál Hookes og teygjanleiki – vandamál og lausnir

Breytingin á lengd

1. Stöng er L að lengd og dregin til hennar af kraftinum F. Teygjanleiki hennar er ∆L. Hver er stærð kraftsins ef lengdarbreytingin er 4∆L?

Þekkt:

Kraftur 1 (F1 ₎ = F

Breytingin á lengd 1 (∆L1 ₎ = ∆L

Lengdarbreytingin 2 (∆L2 ₎ = 4 ∆L

Óskað eftir: Sveit 2 (F ₂ )

Lausn:

Jafna lögmáls Hookes

k = F / ΔL

k = teygjanleikastuðullinn, F = krafturinn í F, ΔL = lengdarbreytingin

k1 = _k2​

F1 / _∆L1 = _F2 / _∆L2​

F / ΔL = F2 _/ 4ΔL

F / 1 = F ₂ / 4

F = F2 _/ 4

F2 = _4F

2. Gormarnir eru tengdir í röð og samsíða, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Gorm 1 hefur fastann 200 N/m, gormur 2 hefur fastann 200 N/m og gormur 3 hefur fastann 200 N/m. Massi hlutarins er 100 grömm og hröðun vegna þyngdarafls er 10 m/s²Hver er breytingin á lengd á samsvarandi vor.

Þekkt:

Massi hlutar (m) = 100 grömm = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Óskað er eftir: Breyting á lengd samsvarandi fjöður.

Lausn:

Ákvarðaðu jafngildið vorstuðull:

Fjöður 2 (k² ₎ og fjöður 3 (k³ ₎ eru tengd samsíða. Jafngildi fjöðurstuðullsins:

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Fjöður 1 (k1 ₎ og fjöður p (kP ₎ eru tengd í röð. Jafngildi fjöðurstuðullsins:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

ks ⁼ 400/3 Nm ₋₁

Jafngildi fjöðurstuðullinn er 400/3 Nm ^-1

Ákvarðið breytinguna á lengd jafngildisfjöðrarinnar :

Jafna lögmáls Hookes:

∆x = F / k = w / k

Breyting á lengd jafngildisfjöðrarinnar :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Stöðugleiki vorsins

3. Hver er fasti vorsins samkvæmt gögnunum í töflunni hér að neðan.

Lausn:

Jafna lögmáls Hookes:

k = F / Δx

Stöðugleiki vorsins:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Þrjár gormar eru tengdar í röð og samsíða eins og sýnt er á myndinni hér fyrir neðan. Stöðlurnar k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ og k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Hver er fasti jafngildis gormsins?

Þekkt:

Fasti fjöður 1 (k1 ₎ = fasti fjöður 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Fasti fjöður 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Óskaður: fasti samsvarandi fjöður (k)

Lausn:

Fjöður 1 (k1 ₎ og fjöður 2 (k2 ₎ eru tengd samsíða. Fasti samsvarandi fjöðursins er:

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Fjöður p (kP ₎ og fjöður 3 (k3 ₎ eru tengdir í röð. Fasti samsvarandi fjöðursins er:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Fasti jafngildis fjöðursins = 3 Nm ⁻¹.

5. Fjöður með lengd L, dregin með þyngd w. Samkvæmt gögnum í töflunni hér að neðan, hver er fasti samsvarandi fjöðursins:

Lausn:

k = F / Δx

Stöðugleiki vorsins:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Samkvæmt gögnum í töflunni hér að neðan, hver er fasti samsvarandi fjöðursins:

Lausn:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = teygjanleikastuðull, w = þyngd, m = massi, g = þyngdarhröðun, Δx = lengdarbreyting

Vorstuðull:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Ef k1 ₌ 4k, hver er þá fasti samsvarandi fjöðursins?

Lausn:

Tvær gormar eru tengdar samsíða. Stöðugleiki samsvarandi gormsins:

k _p = k + k = 2k

Tvær gormar eru tengdar í röð. Stöðugleiki samsvarandi gormsins

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k _s = 4k/3

8. Samkvæmt gögnum í töflunni hér að neðan, hver er fasti samsvarandi fjöðursins:

Lausn:

Jafna lögmáls Hookes:

k = F / ΔL

Stöðugleiki vorsins:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Minnsti fastinn er…

lausn

Jafna lögmáls Hookes:

k = F / Δx

k = teygjanleikastuðull, F = kraftur, Δx = lengdarbreyting

Fasti teygjanleika:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Hver er stærsti fastinn samkvæmt gögnum í töflunni hér að neðan?

Lausn:

Jafna lögmáls Hookes:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm ^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm ^-1

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Stærsti fastinn er 320 Nm ^-1.

11. Grafið hér að neðan sýnir tengslin milli breytingarinnar á krafti (ΔF) og aukningar á lengd (Δx). Hvert er grafið sem sýnir minnsta fasta teygjanleikans?

lausn

Jafna lögmáls Hookes:

k = F / Δx

Δx = lengdarbreyting, F = kraftur, k = teygjanleikastuðull

Fasti teygjanleika:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Hvaða graf h hefur stærstu teygjanlegu fastana?

Lausn:

Fasti teygjanleika :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Möguleg orka vorsins:

13. Grafið hér að neðan sýnir samband krafts og breytinga á lengd fjöðrarinnar. Hver er stöðuorka fjöðrarinnar, samkvæmt grafinu hér að neðan?

Þekkt:

F = 40 N

x = 0.08 metrar

Óskað eftir : Möguleg orka vorsins

Lausn:

Stöðugleiki vorsins:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Möguleg orka vorsins:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joule

14. 2 kg kubbur er festur við fjöður. Ef lengd fjöðurarinnar eykst um 5 cm og þyngdarhröðunin er 10 m/s² ^, hver er þá stöðuorka fjöðursins?

Þekkt:

Lengdaraukningin (Δx) = 5 cm = 0.05 metrar

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ ^s²

Massi blokkar (m) = 2 kg

Þyngd blokkar (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Óskað eftir: hugsanlegri orku vorsins

Lausn:

Fasti teygjanleikans:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Möguleg orka vorsins:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Júl

15. Lengdarbreyting fjöðursins er 5 cm þegar togkrafturinn er 20 N. Hver er stöðuorka fjöðursins þegar lengdarbreytingin er 10 cm?

Þekkt:

Lengdarbreytingin (Δx) = 5 cm = 0.05 metrar

Kraftur (F) = 20 Newton

Óskað eftir : Möguleg orka vorsins

Lausn:

Stöðugleiki vorsins:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Stöðug orka vorsins þegar Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Júl

Þyngd hlutar

16. Fjórar gormar þar sem fasti hverrar gorms er 800 N/m, tengdar í röð og samsíða, eins og sýnt er á myndinni. Klossi er festur við gorminn. Lengdarbreyting allra gormanna er 5 cm. Hver er þyngd klossanna?

Þekkt:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 800} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Óskað er eftir: þyngd blokkar (w)

Lausn:

Ákvarðið fasta jafngildisfjöðrarinnar

Vor 1 (k₁), vor 2 (k₂) og vor 3 (k₃) eru tengd samsíða. Fasti samsvarandi fjöðursins:

k _p = _k1 + k2 ₊ k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Fjöður p (kP ₎ og fjöður 4 (k4 ₎ eru tengdir í röð. Fasti samsvarandi fjöðursins er:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Stöðugleiki jafngildisfjöðrarinnar er 600 Nm ^-1

Ákvarða þyngd hlutarins:

Jafna lögmáls Hookes:

F = k Δx eða w = k Δx

Þyngd hlutar:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newton

17. Fjórar gormafjaðrar eru tengdar í röð og samsíða. Fasti hverrar gormafjaðrar er 1600 N/m. Klossi er festur við enda gormsins, eins og sýnt er á myndinni. Lengdaraukning allra gorma er 5 cm. Hver er þyngd klossanna?

Þekkt:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 1600} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Óskað eftir: þyngd blokkar

Lausn:

Ákvarðið fasta jafngildisfjöðrarinnar

Vor 1 (k₁), vor 2 (k₂) og vor 3 (k₃) eru tengd samsíða. Fasti samsvarandi fjöðursins:

kP = _k1 + k2 ₊ k3 _{= 1600 +} 1600 + 1600 = 4800 Nm ⁻¹

Fjöður p (kP ₎ og fjöður 4 (k4 ₎ eru tengdir í röð. Fasti samsvarandi fjöðursins er:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Stöðugleiki jafngildisfjöðrarinnar er 1200 Nm ^-1

Ákvarða þyngd hlutarins:

Jafna lögmáls Hookes:

F = k Δx eða w = k Δx

Þyngd hlutar:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newton

1. Hvað er lögmál Hooke?
   • Svar: Lögmál Hooke lýsir sambandi kraftsins sem beitt er á teygjanlegan hlut og aflögunarinnar sem af því hlýst (venjulega lengingu eða þjöppun). Nánar tiltekið segir það að krafturinn sem þarf til að þjappa eða teygja fjöður sé í réttu hlutfalli við lengdina sem hann er teygður eða þjappaður, að því tilskildu að ekki sé farið yfir teygjumörkin.
2. Hvað þýðir það þegar við segjum að efni hafi náð teygjanleikamörkum sínum?
   • Svar: Þegar efni hefur náð teygjanleikamörkum sínum þýðir það að það mun ekki lengur snúa aftur til upprunalegrar lögunar eða stærðar eftir að aflögunarkrafturinn er fjarlægður. Eftir þennan tímapunkt hegðar efnið sér plastískt og getur afmyndast varanlega.
3. Hvernig tengist fjöðrunarstuðullinn (k) stífleika fjöðrarinnar?
   • Svar: Fjaðrastuðullinn (k) er mælikvarði á stífleika fjöður. Stærra gildi k gefur til kynna stífari fjöður, sem þýðir að meiri kraftur þarf til að afmynda hann að ákveðnu marki, en lægra gildi k gefur til kynna sveigjanlegri eða mýkri fjöður.
4. Hverjar eru einingar fjöðrstuðullsins í SI kerfinu?
   • Svar: Í SI-kerfinu eru einingarnar fyrir fjaðurstuðulinn (k) Newton á metra (N/m).
5. Hvers vegna er hegðunin sem lýst er í lögmáli Hooke talin línuleg?
   • Svar: Hegðunin telst línuleg því sambandið milli beittrar kraftar (F) og tilfærslunnar (x) er bein lína, þar sem sambandið er gefið sem $F=kx$, þar sem k er fasti fyrir tiltekið efni eða fjöður.
6. Á lögmál Hooke aðeins við um gorma?
   • Svar: Nei, lögmál Hooke á við um öll teygjanleg efni sem aflagast línulega með beittum krafti, allt að teygjumörkum þess. Þó að gormar séu algengt dæmi, geta önnur efni eins og gúmmíbönd, málmar við litlar aflögun og sumir líffræðilegir vefir einnig sýnt hegðun sem lýst er í lögmáli Hooke.
7. Hvað gerist ef efni er teygt út fyrir teygjumörk sín en ekki nægilega mikið til að það brotni?
   • Svar: Ef efni er teygt út fyrir teygjumörk sín en ekki þannig að það brotni, mun það verða fyrir plastaflögun. Þetta þýðir að þegar krafturinn er fjarlægður mun efnið ekki snúa alveg aftur í upprunalega lögun sína og einhver varanleg aflögun verður eftir.
8. Hvernig tengjast hugtökin spenna og álag lögmáli Hooke?
   • Svar: Spenna er krafturinn sem beitt er á flatarmálseiningu og álag er hlutfallsleg aflögun efnis. Lögmál Hooke, hvað varðar spennu og álag, segir að spennan sé í beinu hlutfalli við álagið, þar sem hlutfallsstuðullinn er Youngs stuðull efnisins. Þetta er önnur leið til að tjá línulegt samband milli krafts og aflögunar, en fyrir laus efni frekar en bara gorma.
9. Hvað er Young's Modulus og hvernig tengist hann teygjanleika?
   • Svar: Youngs stuðull, venjulega táknaður með bókstafnum $E$, er mælikvarði á stífleika efnis hvað varðar togkraft eða þjöppun. Það lýsir getu efnisins til að standast aflögun undir áhrifum krafts. Hærri Youngs stuðull gefur til kynna stífara efni og er skilgreindur sem hlutfall spennu og álags.
10. Er hægt að lýsa öllum efnum með lögmáli Hooke?

• Svar: Nei, ekki öll efni hegða sér samkvæmt lögmáli Hooke. Mörg efni, sérstaklega þau sem eru ólínuleg, seigfljótandi eða plastísk, sýna ekki línulegt samband milli spennu og álags. Lögmál Hooke er hugsjónarlýsing og er nákvæmust fyrir litlar aflögun teygjanlegra efna.