Dæmi um spurningar og umræður um eina gerð þríhyrningshlutfalla: tan θ
Hringlagafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar samband horna og hliðarlengda í þríhyrningum. Eitt oft rætt hringlaga hlutfall er snertillinn (tan). Í þessari grein munum við einbeita okkur að notkun tan hlutfallsins í ýmsum gerðum verkefna og ræða nokkur dæmi sem fela í sér tan θ.
Skilgreining á tan θ
Snertilinn við hornið θ er skilgreindur sem hlutfall lengdar gagnstæðrar hliðar og lengdar aðliggjandi hliðar í rétthyrndum þríhyrningi. Stærðfræðilega er þetta skrifað sem:
\[ \tan θ = \frac{\text{gagnstæð hlið}}{\text{aðliggjandi hlið}} \]
Í einingarhringnum er einnig hægt að túlka tan sem hlutfallið milli y-hnitsins (framhliðarinnar) og x-hnitsins (hliðarhliðarinnar) punkts á hringnum sem er einni einingu frá miðjunni.
Tan-fallið í stærðfræði og eðlisfræði
Hornafræði, sérstaklega tan-fallið, er notað í ýmsum stærðfræðilegum og eðlisfræðilegum tilgangi. Til dæmis er tan-fallið notað í klassískri eðlisfræði við greiningu á hreyfingu skotflata og í verkfræði er það notað til að reikna út halla eða halla yfirborðs.
Dæmi um spurningar og umræður
Hér eru nokkur dæmi um spurningar og umræður um þær til að skilja notkun tan θ betur.
Spurning 1: Að reikna út tan θ rétthyrndan þríhyrning
Gefið: Rétthyrndur þríhyrningur hefur lengd framhliðar gegnt horninu θ upp á 4 cm og lengd hliðarinnar sem liggur að horninu θ upp á 3 cm. Reiknið gildi tan θ.
Umræða:
Notaðu skilgreininguna á sólbrúnku:
\[ \tan θ = \frac{\text{framhlið}}{\text{hlið}} \]
Settu þekkt gildi í staðinn:
[\tan θ = \frac{4}{3} \]
Þannig að gildið á tan θ er \( \frac{4}{3} \).
Spurning 2: Að ákvarða lengd hliðar með því að nota tan θ
Gefið: Rétthyrndur þríhyrningur með hornið θ er þekktur þar sem tan θ = 0.75. Lengd hliðarinnar sem liggur að horninu θ er 8 cm. Reiknið lengd gagnstæðrar hliðar sem liggur að horninu θ.
Umræða:
Notaðu skilgreininguna á tan til að finna lengd gagnstæðrar hliðar:
\[ \tan θ = \frac{\text{framhlið}}{\text{hlið}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{framhlið}}{8} \]
Margfaldaðu báðar hliðar með 8 til að leysa jöfnuna.
\[ \text{framhlið} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{framhlið} = 6 cm \]
Þannig að lengd framhliðarinnar er 6 cm.
Spurning 3: Að reikna út hornið θ ef tan θ er þekkt
Gefið: Rétthyrndur þríhyrningur er þekktur þar sem tan θ = 1. Nefndu hornið θ.
Umræða:
Tan horns er jafnt og 1 þegar gagnstæð hlið og aðliggjandi hlið eru jafnlangar. Í grunn þríhyrningsfræði gerist þetta við 45° horn.
Þess vegna er gildið á θ 45°.
Spurning 4: Notkun Tan θ í algebruverkefnum
Gefið: Reipi er bundið frá toppi stöngar sem er 15 metra hár að punkti á jörðinni sem er 20 metra frá botni stöngarinnar. Reiknið tan θ, þar sem θ er hornið sem myndast milli reipisins og stöngarinnar.
Umræða:
Notaðu skilgreininguna á sólbrúnku:
\[ \tan θ = \frac{\text{framhlið (pólhæð)}}{\text{hlið (lárétt fjarlægð)}} \]
[\tan θ = \frac{15}{20} \]
Einfaldaðu brotið:
[\tan θ = \frac{3}{4} \]
Þannig að gildið á tan θ er \( \frac{3}{4} \).
Spurning 5: Að ákvarða hæð út frá fjarlægð og hallahorni
Gefið: Athugandi stendur í 100 metra fjarlægð frá hárri byggingu. Tan θ athugunarinnar frá staðsetningu athugandans að efri hluta byggingarinnar er \(\tan 30^\circ\). Ákvarðið hæð byggingarinnar.
Umræða:
Það er vitað að \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{framhlið (hæð byggingar)}}{\text{hlið (fjarlægð)} } \]
Settu þekkt gildi inn í jöfnuna
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{hæð byggingar}}{100} \]
Margfaldaðu báðar hliðar með 100 til að einangra hæðina.
\[ \text{hæð byggingar} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{hæð byggingar} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{byggingarhæð} ≈ 57.73 \text{ metrar} \]
Þannig að hæð byggingarinnar er um það bil 57.73 metrar.
Spurning 6: Að ákvarða hornið út frá hæð og fjarlægð
Gefið: Þú veist að hæð turns er 50 metrar og lárétta fjarlægðin frá útsýnisstað að botni turnsins er 70 metrar. Ákvarðið hæðarhornið að toppi turnsins.
Umræða:
\[ \tan θ = \frac{\text{hæð turns}}{\text{lárétt fjarlægð}} \]
[\tan θ = \frac{50}{70} \]
[\tan θ = \frac{5}{7} \]
Til að finna θ notum við öfuga tangensfallið (tan⁻¹) eða arctan.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Með því að nota reiknivél eða hornafræðitöflu getum við fundið gildið á θ.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Þannig að hæðarhornið að toppi turnsins er um 35.54°.
Niðurstaða
Hrínafræði er öflugt verkfæri á mörgum sviðum vísinda. Til dæmis er snertillinn einfaldur en öflugur hlutfallslegur vísir sem notaður er til að leysa vandamál sem fela í sér horn og hliðarlengdir. Með því að skilja skilgreiningu hans og hvernig á að nota hann getum við leyst fjölbreytt rúmfræði- og eðlisfræðiverkefni. Með því að æfa okkur í verkefnum eins og dæminu hér að ofan getum við orðið færari í að nota tan θ í daglegum útreikningum.
