Dæmispurningar og umræða um eiginleika ákveðinna heilda
Heildartalan er grundvallarhugtak í stærðfræðigreiningu og er afar gagnleg í fjölmörgum notkunarsviðum í stærðfræði, eðlisfræði og verkfræði. Í þessari grein munum við útskýra nokkra mikilvæga eiginleika heildartalunnar og veita dæmi og lausnir til að dýpka skilning þinn á viðfangsefninu.
Eiginleikar ákveðinna heilda
Áður en við förum í dæmin skulum við skoða nokkra grunneiginleika ákveðinna heilda sem mikilvægt er að vita:
1. Línuleikaeiginleiki:
– Ef \(f(x) \) og \(g(x) \) eru teganleg föll og \(a \) og \(b \) eru fastar, þá:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Heilduð fasta:
– Ef \(c \) er fasti, þá:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. Eiginleikar bilasamlagningar:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Afturköllun marka:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Núll við sömu mörk:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Dæmispurning 1: Notkun línuleikaeiginleikans
Dæmi um vandamál:
Reiknaðu gildið á:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Umræða:
Notaðu línuleikaeiginleikann til að skipta heildinu í tvennt:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]
Reiknum út fyrsta heildið:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 (\frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \vinstri( \frac{8}{3} \hægri)
\]
\[
= 8
\]
Nú reiknum við út annað heildið:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \vinstri( 1 – 0 \hægri)
\]
\[
= 2
\]
Sameina niðurstöðurnar tvær:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Dæmispurning 2: Heilduð fasta
Dæmi um vandamál:
Reiknaðu gildið á:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Umræða:
Með því að nota heildareiginleika fasta getum við skrifað:
\[
\int_1^45 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 µg
\]
\[
= 15
\]
Dæmispurning 3: Eiginleikar markbreytinga
Dæmi um vandamál:
Sannaðu að:
\[
\int_2^5x^2 \, dx = – \int_5^2x^2 \, dx
\]
Umræða:
Við byrjum með heildinu af \(x^2 \) á bilinu \([2, 5] \):
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Nú skulum við reikna heildið af \( x^2 \) á bilinu \( [5, 2] \) og gæta þess að snúa við formerki svarsins:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Það er sannað að:
\[
\int_2^5x^2 \, dx = – \int_5^2x^2 \, dx.
\]
Dæmispurning 4: Eiginleikar bilasamlagningar
Dæmi um vandamál:
Ef \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) og \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) eru þekkt, reiknaðu þá gildi \(\int_2^6 f(x) \, dx\).
Umræða:
Að nota eiginleikann fyrir samlagningu bila:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Niðurstaða
Ákveðin heildun hefur marga mikilvæga eiginleika sem geta hjálpað okkur að leysa ýmis konar vandamál á skilvirkari hátt. Í þessari grein höfum við fjallað um nokkra af þessum grunneiginleikum og gefið dæmi sem sýna hvernig hægt er að beita þessum eiginleikum í reynd. Með nægilegri skilningi og æfingu munt þú geta leyst ákveðin heildun af meiri öryggi.
