Dæmispurningar um notkun þríhyrningshlutfalla
Hringjafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar tengslin milli hliða og horna þríhyrninga. Það er mikilvægt að skilja hringjafræði því hún er oft notuð á ýmsum sviðum, þar á meðal byggingarlist, verkfræði, stjörnufræði og jafnvel dulritun. Þessi grein fjallar um nokkur dæmi um vandamál og ræðir þau í samhengi við notkun hringjahlutfalla.
Grunnhugtök þríhyrningsfræðinnar
Áður en við förum yfir dæmin skulum við fara yfir nokkur grunnhugtök í þríhyrningsfræði. Í rétthyrndum þríhyrningi eru þrjú helstu þríhyrningsföll sem eru oft notuð: sínus, kósínus og snertill.
– Sínus (sinus) horns er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar við hornið og lengdar lágslægðarinnar.
\[
\sin \theta = \frac{\text{framhlið}}{\text{suðhlið}}
\]
– Kósínus (cos) horns er hlutfallið milli lengdar hliðarinnar sem liggur að horninu og lengdar lágslægðarinnar.
\[
\cos \theta = \frac{\text{aðliggjandi hlið}}{\text{suðlæga hliðin}}
\]
– Snertill (tan) horns er hlutfallið milli lengdar hliðarinnar sem er gagnstæð horninu og lengdar hliðarinnar sem liggur að horninu.
\[
\tan \theta = \frac{\text{framhlið}}{\text{hlið}}
\]
Dæmispurning 1: Útreikningur á turnhæð
Spurning: Áhorfandi stendur 50 metra frá turni og mælir hækkunarhornið á toppi turnsins sem 30 gráður. Ákvarðið hæð turnsins.
Lausn: Til að leysa þetta vandamál getum við notað snertifallið í hornafræði. Þar sem við þekkjum hæðarhornið og lárétta fjarlægðina frá áhorfandanum að turninum getum við skrifað:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{hæð turns}}{\text{lárétt fjarlægð}}
\]
Settu þekkt gildi í staðinn:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Það er vitað að \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), þannig að:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Þá er hægt að finna hæð turnsins, \(h\), með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \u.þ.b. 28.87 \, \text{metra}
\]
Hæð turnsins er um 28.87 metrar.
Dæmispurning 2: Ákvörðun fjarlægðar með kósínus
Spurning: Skip siglir 10 km austur, breytir síðan stefnu um 60 gráður norður og siglir 15 km. Ákvarðið fjarlægðina frá upphafspunkti að skipinu.
Umræða: Til að leysa þetta vandamál getum við notað kósínusregluna í hornafræði. Ef við teiknum ferð skipsins í hnitakerfi, finnum við þríhyrning með hliðar 10 km og 15 km og 60 gráðu horn. Við getum notað kósínusregluna til að finna fjarlægðina milli upphafspunkts skipsins og lokastöðu þess.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Hvar:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Settu þekkt gildi í staðinn:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ⋅ 10^15 × ⋅ cos 60^circ
\]
Við vitum að \(cos 60^circ = 0.5\), þá:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ≥ 10 ≥ 15 ≥ 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = 175 sqrt \u.þ.b. 13.23 \, \text{km}
\]
Fjarlægðin frá upphafsstað að skipinu er því um 13.23 km.
Dæmispurning 3: Að nota sinus til að ákvarða hliðar þríhyrnings
Spurning: Í þríhyrningi eru tvær hliðar 7 cm og 10 cm langar, og hornið á milli þeirra er 45 gráður. Reiknið lengd þriðju hliðarinnar í þríhyrningnum.
Umræða: Við getum notað sínuslögmálið til að leysa þetta vandamál. Í sínuslögmálinu, fyrir þríhyrning með hliðar \(a\), \(b\) og \(c\) og horn \(C\) milli hliða \(a\) og \(b\):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Hins vegar, í þessu tilfelli, getum við notað kósínuslögmálið beint til að auðvelda hlutina. Kósínuslögmálið segir:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Hvar:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), þannig að:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Að reikna út gildið á \(c \):
\[
c \u.þ.b. 149 – 70 \u.þ.b. 5.97 cm
\]
Þannig að lengd þriðju hliðar þríhyrningsins er um 5.97 cm.
Niðurstaða
Hornafræði er mjög gagnlegt tól til að leysa ýmis vandamál sem fela í sér þríhyrninga og horn. Með góðum skilningi á sínus, kósínus, snertil og lögmálum hornafræðinnar getum við leyst mörg hagnýt vandamál. Þessi grein fjallar um nokkur dæmi um notkun hornafræðilegra hlutfölla, sem við vonum að muni hjálpa lesendum að efla skilning sinn.
