Բեռնուլիի բանաձևը

Բեռնուլիի բանաձևը. սկզբունքներ և կիրառություններ

Բեռնուլիի սկզբունքը հեղուկների մեխանիկայի հիմնարար հասկացություն է, որը հայտնաբերվել է 18-րդ դարում շվեյցարացի գիտնական Դանիել Բեռնուլիի կողմից: Այս սկզբունքը բացատրում է հեղուկի հոսքի արագության և այդ հոսքի մեջ ճնշման միջև եղած կապը: Այս հոդվածում մանրամասն կքննարկվեն Բեռնուլիի բանաձևը, դրա հիմնական հասկացությունները, մաթեմատիկական ածանցյալները, հաշվարկների օրինակները և դրա կիրառությունները առօրյա կյանքում:

Բեռնուլիի բանաձևի հասկացումը

Բեռնուլիի բանաձևը նշում է, որ իդեալական հեղուկի հոսքի դեպքում (առանց շփման) մեխանիկական էներգիայի (պոտենցիալ էներգիա, կինետիկ էներգիա և ճնշում) քանակը մեկ միավոր ծավալի մեջ հաստատուն է ամբողջ հոսքի ընթացքում։ Այս բանաձևը գրվում է հետևյալ կերպ.

\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{հաստատուն} \]

Որտեղ՝
– \( P \)-ն հեղուկի ճնշումն է (պասկալներով, Պա),
– \( \rho \)-ն հեղուկի խտությունն է (կիլոգրամներով մեկ խորանարդ մետրի համար, կգ/մ³),
– \( v \)-ն հեղուկի հոսքի արագությունն է (մետր վայրկյանում, մ/վ),
– \( g \)-ն ձգողականության արագացումն է (մետր վայրկյանում քառակուսում, մ/վ²),
– \( h \)-ն հեղուկի բարձրությունն է հղման կետից վերև (մետրերով, մ):

Բեռնուլիի սկզբունքը

Բեռնուլիի սկզբունքը հիմնված է էներգիայի պահպանման օրենքի վրա: Հեղուկի հոսքի դեպքում համակարգի ընդհանուր էներգիան պետք է մնա հաստատուն, եթե համակարգից էներգիա չի ավելացվում կամ չի հանվում: Միավոր ծավալի ընդհանուր էներգիան բաղկացած է.
1. Ճնշման էներգիա (\( P \)): Հեղուկի ճնշման հետևանքով առաջացող էներգիա։
2. Կինետիկ էներգիա (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Հեղուկի շարժումից առաջացող էներգիա։
3. Գրավիտացիոն պոտենցիալ էներգիա (\( \rho gh \)): Էներգիա, որը առաջանում է հեղուկի դիրքից գրավիտացիոն դաշտում։

Բեռնուլիի բանաձևի մաթեմատիկական ստացումը

Բեռնուլիի բանաձևի ստացումը հասկանալու համար դիտարկենք հեղուկի մի փոքր տարր, որը շարժվում է հոսքով՝ √(v√) արագությամբ 1-ին կետից մինչև 2-րդ կետը։ Եթե ենթադրենք, որ շփման կամ ջերմության պատճառով էներգիայի կորուստ չկա, ապա 1 և 2 կետերում ընդհանուր էներգիան պետք է նույնը լինի։

1-րդ կետում (\( E_1 \)) ընդհանուր էներգիան կազմում է՝

\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]

2-րդ կետում (\( E_2 \)) ընդհանուր էներգիան կազմում է՝

\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

Քանի որ ընդհանուր էներգիան պետք է լինի հաստատուն, ապա՝

\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

Սա այն է, ինչ կոչվում է Բեռնուլիի բանաձև։

Բեռնուլիի բանաձևով հաշվարկի օրինակ

Ենթադրենք, որ մենք ունենք հորիզոնական խողովակ, որի վրա ջուրը հոսում է A կետից դեպի B կետը: A կետում ջրի արագությունը 2 մ/վ է, իսկ ճնշումը՝ 150,000 Պա: B կետում ջրի արագությունը 4 մ/վ է: Ջրի խտությունը 1000 կգ/մ³ է: Հաշվարկեք ճնշումը B կետում:

Օգտագործեք Բեռնուլիի բանաձևը.

\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]

Քանի որ խողովակը հորիզոնական է, h(A = h_B), հետևաբար երկու կետերում էլ gh-ն կարելի է անտեսել։

\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]

Փոխարինեք հայտնի արժեքները՝

\[ 150,000 + \frac{1}{2} 1000 անգամ (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} 1000 անգամ (4)^2]

Հաշվարկեք կինետիկ էներգիան երկու կետերում էլ՝

\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]

\[ 152,000 = P_B + 8000 \]

\[ P_B = 152,000 – 8000 \]

\[ P_B = 144,000 \, \text{Պա} \]

Այսպիսով, B կետում ճնշումը 144,000 Պա է։

Բեռնուլիի սկզբունքի կիրառումը

1. Ինքնաթիռներ. Բեռնուլիի սկզբունքը կիրառվում է ինքնաթիռի թևերի նախագծման մեջ: Ինքնաթիռի թևի ձևը նախագծված է այնպես, որ թևի վերևում օդի արագությունը մեծ լինի թևի տակից: Սա հանգեցնում է թևի վերևում ճնշման նվազմանը և թևի տակ ճնշման բարձրացմանը, ստեղծելով վերելքի ուժ, որը թույլ է տալիս ինքնաթիռին թռչել:

2. Մրցարշավային մեքենաներ. Մրցարշավային մեքենաների աերոդինամիկ դիզայնը օգտագործում է Բեռնուլիի սկզբունքը՝ արագությունն ու կայունությունը բարձրացնելու համար: Սփոյլերներն ու դիֆուզորները օգտագործվում են օդի հոսքը կարգավորելու համար՝ մեծացնելով ներքևի ուժը, ինչը բարելավում է մեքենայի կպչունակությունը ճանապարհին:

3. Արյան հոսքը մարմնում. Բեռնուլիի սկզբունքը վերաբերում է նաև արյան հոսքին արյան անոթներով: Մարմնի տարբեր մասերում արյան հոսքի արագության և ճնշման տարբերությունները կարող են ուսումնասիրվել բժշկական վիճակները ախտորոշելու համար:

4. Վենտուրի չափիչ. Սարք, որն օգտագործվում է խողովակում հեղուկի հոսքի արագությունը չափելու համար: Վենտուրի չափիչն ունի նեղացող հատված, որը Բեռնուլիի սկզբունքին համապատասխան առաջացնում է հեղուկի հոսքի արագության աճ և ճնշման նվազում: Լայն և նեղ հատվածների միջև ճնշման տարբերությունը օգտագործվում է հոսքի արագությունը հաշվարկելու համար:

5. Օծանելիքի ցողիչներ. Օծանելիքի ցողիչները կամ հեղուկի ցողիչները կիրառում են Բեռնուլիի սկզբունքը: Երբ օդը փչվում է նեղ խողովակի միջով, խողովակի ծայրի շուրջ օդի ճնշումը նվազում է, օծանելիքի հեղուկը քաշելով վերև խողովակի միջով և ցողելով այն որպես նուրբ մշուշ:

Բեռնուլիի սկզբունքի կիրառման վրա ազդող գործոններ

1. Շփում. Իրականում հեղուկները իդեալական չեն, և միշտ կա ներքին շփում (մածուցիկություն), որը առաջացնում է էներգիայի կորուստ: Սա Բեռնուլիի սկզբունքի կիրառումն ավելի բարդ է դարձնում:

2. Հեղուկների սեղմելիություն. Բեռնուլիի սկզբունքն ավելի հեշտ է կիրառել անսեղմելի հեղուկների (օրինակ՝ ջրի) համար: Գազերի կամ սեղմելի հեղուկների համար հավասարումը պետք է ճշգրտվի:

3. Տուրբուլենտություն. Բեռնուլիի սկզբունքը վերաբերում է լամինար (կանոնավոր) հոսքին: Տուրբուլենտ (անկանոն) հոսքի դեպքում վերլուծությունն ավելի բարդ է դառնում:

Ուսումնասիրություն. Բեռնուլիի սկզբունքի կիրառումը ինքնաթիռի թևերի նախագծման մեջ

Ինքնաթիռի թևի դիզայնը Բեռնուլիի սկզբունքի գործողության դասական օրինակ է։ Թևի կոր վերին և հարթ ներքևի ձևը թույլ են տալիս օդին ավելի արագ հոսել թևի վրայով, քան դրա տակ։ Բեռնուլիի սկզբունքի համաձայն՝ թևի վրայով օդի հոսքի ավելի բարձր արագությունը ստեղծում է ավելի ցածր ճնշում, քան թևի տակ։ Այս ճնշման տարբերությունը ստեղծում է վերամբարձ ուժ, որը թույլ է տալիս ինքնաթիռին թռչել։

Ենթադրենք, որ ինքնաթիռի թևի մակերեսը 25 մ² է: Թևի վերևում օդի արագությունը 70 մ/վ է, իսկ թևի տակ՝ 50 մ/վ: Օդի խտությունը 1.225 կգ/մ³ է: Հաշվարկեք ստացված վերելքի ուժը:

1. Հաշվարկեք ճնշման տարբերությունը (\( \Delta P \))՝ օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը։

\[ P_{ներքև} – P_{վերև} = \frac{1}{2} \rho (v_{վերև}^2 – v_{ներքև}^2) \]

Փոխարինեք հայտնի արժեքները՝

\[ \Դելտա P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]

\[ \Դելտա P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]

\[ \Դելտա P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]

\[ \Դելտա P = 1.225 \times 1200 \]

\[ \Դելտա P = 1470 \, \text{Պա} \]

2. Հաշվարկեք վերամբարձ ուժը (\( F_{lift} \)):

\[ F_{լիֆտ} = \Դելտա P \times A \]

\[ F_{լիֆտ} = 1470 \, \text{Պա} \times 25 \, \text{մ}^2 \]

\[ F_{բարձրացում} = 36,750 \, \տեքստ{

Ն} \]

Այսպիսով, արդյունքում ստացված բարձրացնող ուժը կազմում է 36,750 նյուտոն։

Եզրակացություն

Բեռնուլիի սկզբունքը հեղուկների մեխանիկայի հիմնարար սկզբունքներից մեկն է, որը բացատրում է հեղուկի հոսքի արագության և ճնշման միջև եղած կապը: Հասկանալով և կիրառելով Բեռնուլիի բանաձևը՝ մենք կարող ենք վերլուծել և նախագծել հեղուկի հոսք ներառող բազմազան համակարգեր՝ ինքնաթիռից մինչև հոսքաչափեր: Չնայած գործնականում մենք հաճախ ստիպված ենք հաշվի առնել այնպիսի գործոններ, ինչպիսիք են շփումը և տուրբուլենտությունը, Բեռնուլիի սկզբունքը մնում է կարևոր գործիք հեղուկների դինամիկան հասկանալու և արդյունավետ ճարտարագիտական ​​լուծումներ նախագծելու համար: