Միավոր վեկտորային բաղադրիչների միջոցով կետերի բազմապատկման նյութ
Մենք կարող ենք անմիջապես հաշվարկել սկալյար արտադրյալը, եթե գիտենք A և B վեկտորների (հայտնի վեկտորների) x, y և z բաղադրիչները։
Այս կերպ կետային արտադրյալ կատարելու համար մենք նախ կատարում ենք միավոր վեկտորների կետային արտադրյալը, որից հետո A և B վեկտորները արտահայտում ենք դրանց բաղադրիչներով, վերլուծում արտադրյալը և օգտագործում միավոր վեկտորների արտադրյալը։
Միավոր վեկտորները ՝ i , j և k, ուղղահայաց են միմյանց, ինչը հեշտացնում է հաշվարկները: Օգտագործելով վերևում ստացված սկալյար բազմապատկման հավասարումը ( AB = AB cos theta ), ստանում ենք՝
ի . ի = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
ի.ջ = ի.կ = ի.կ.կ = (1)(1) cos 90 o = 0
Հիմա A և B վեկտորները արտահայտենք դրանց բաղադրիչների միջոցով, վերլուծենք դրանց արտադրյալը և օգտագործենք միավոր վեկտորների արտադրյալը։
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Որովհետև i . i = j . j = k . k = 1 և i . j = i . k = j . k = 0, ապա՝
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
Ա . Բ = Ա x Բ x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By y (1 ) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Այս հաշվարկի արդյունքների հիման վրա կարելի է եզրակացնել, որ երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը կամ կետային արտադրյալը նրանց նմանատիպ բաղադրիչների արտադրյալների գումարն է։
Օրինակ՝ հարց 1:
Մեծ վեկտոր A Dan B համապատասխանաբար 5 և 4 են, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում։ Ձևավորված անկյունը 90° է։oՀաշվիր այն կետային արտադրյալ երկու վեկտորներն էլ։
Քննարկում
Մինչև A և B վեկտորների կետային արտադրյալը հաշվարկելը, նախ պետք է իմանանք երկրորդ վեկտորի բաղադրիչները։
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
Ա z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) մեղք 90 o = (4) (1) = 4
Բ z = 0
Վեկտոր A-ն վեկտորային բաղադրիչներ ունի միայն x առանցքի վրա, իսկ վեկտոր B-ն ՝ միայն y առանցքի վրա։ Z բաղադրիչը զրո է, քանի որ վեկտորներ A-ն և B-ն գտնվում են xy հարթության վրա։
Այժմ մենք հաշվարկում ենք A և B վեկտորների միջև կետային արտադրյալը ՝ օգտագործելով բաղադրիչ վեկտորներով կետային արտադրյալի հավասարումը.
Ա. Բ = Աx Bx + AyBy + AzBz
Ա. Բ = (5) (0) + (0) (4) + 0
Ա. Բ = 0 + 0 + 0
Ա. Բ = 0
Եկեք համեմատենք այն առաջին մեթոդի հետ
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
ԱԲ = (4) (5) (0)
ԱԲ = 0
Արդյունքը նույնն է։
Օրինակ՝ հարց 2:
Մեծ վեկտոր A Dan B համապատասխանաբար 5 և 4 են, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում։ Հաշվարկեք կետային արտադրյալ երկու վեկտորներն էլ, եթե ձևավորված անկյունը 30° է։o
Քննարկում
Մինչև A և B վեկտորների կետային արտադրյալը հաշվարկելը, նախ պետք է իմանանք երկրորդ վեկտորի բաղադրիչները։
Z բաղադրիչը զրո է, քանի որ A և B վեկտորները գտնվում են xy հարթության մեջ։
Այժմ մենք հաշվարկում ենք A և B վեկտորների միջև կետային արտադրյալը ՝ օգտագործելով բաղադրիչ վեկտորներով կետային արտադրյալի հավասարումը.
Համեմատեք առաջին մեթոդի հետ։
