Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը քննարկող հարցերի օրինակներ

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը քննարկող հարցերի օրինակներ

Հաշվարկը մաթեմատիկայի կարևոր ճյուղ է, որը ներառում է սահմանների, ածանցյալների և ինտեգրալների հասկացությունները: Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը (ՀՀԹՀ) այս հասկացությունները կապող ամենահիմնարար թեորեմներից մեկն է: Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք հաշվարկի հիմնարար թեորեմի սահմանումը և կիրառումը՝ մի շարք օրինակելի խնդիրների և քննարկումների միջոցով:

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի ըմբռնումը

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը բաղկացած է երկու հիմնական մասից՝

1. Մաս առաջին. Եթե f-ը անընդհատ ֆունկցիա է (a, b) միջակայքում, իսկ F-ը f-ի հակաածանցյալն է այդ միջակայքում, ապա՝
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]

2. Երկրորդ մաս. Եթե f-ն անընդհատ ֆունկցիա է [a, b] միջակայքում, և մենք F ֆունկցիան սահմանում ենք հետևյալ կերպ՝
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
ապա F-ը f-ի հակաածանցյալն է, այսինքն՝
\[ F'(x) = f(x) \]

Հիմնական հասկացությունը հասկանալուց հետո, եկեք անմիջապես անցնենք մի քանի օրինակելի հարցերի և դրանց քննարկումների՝ հաշվարկի հիմնարար թեորեմի կիրառումը պարզաբանելու համար։

Օրինակելի քննարկման հարցեր

Օրինակ՝ խնդիր 1. Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի առաջին մասի կիրառումը

Հարց՝
Տրված է f(x) = 3x^2 ֆունկցիան։ Հաշվարկեք f(x)-ի անորոշ ինտեգրալը՝ x = 1-ից մինչև x = 4։

Քննարկում.
Այս խնդիրը լուծելու համար մենք պետք է գտնենք f(x)-ի հակաածանցյալը՝ \(F(x)\)։

Քայլ 1։ Գտեք f(x) = 3x^2 հակաածանցյալը՝ \(F(x) \)
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Այսպիսով, F(x) = x^3 )։

Քայլ 2։ Հաշվարկեք F(x)-ի արժեքը տրված ինտեգրալային սահմաններում։
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]

Այսպիսով, ինտեգրալային արժեքը 63 է։

Օրինակ՝ հարց 2. Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի երկրորդ մասի կիրառումը

Հարց՝
Եթե ​​F(x) = ≤ 2^x (2t + 1), dt, գտեք F(x)-ի ածանցյալը։

Քննարկում.
Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի երկրորդ մասի համաձայն, եթե F(x) = √_a^xf(t) , dt , ապա F'(x) = f(x) ։

Ըստ տրված իրավիճակի՝
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]

Այնուհետև \(F(x)\)-ի ածանցյալը հետևյալն է՝
\[ F'(x) = 2x + 1 \]

Օրինակ 3. Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի կիրառումը ավելի բարդ ֆունկցիաների հետ

Հարց՝
Տրված է՝ f(x) = x)։ Հաշվարկեք f(x)-ի անորոշ ինտեգրալը՝ x = 0-ից մինչև x = 4։

Քննարկում.
Քայլ 1։ Գտեք f(x) = x) հակաածանցյալը՝ F(x) ։
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Կիրառեք ինտեգրալների հիմնական կանոնները.
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Այսպիսով՝
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Այսպիսով, F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).

Քայլ 2։ Հաշվարկեք F(x)-ի արժեքը տրված ինտեգրալային սահմաններում։
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]

Այսպիսով, ինտեգրալի արժեքը \( \frac{16}{3} \) է։

Օրինակ՝ հարց 4. Ինտեգրացիա կոտորակային ֆունկցիաների հետ

Հարց՝
Ինտեգրեք f(x) = frac{2}{x}) ֆունկցիան x = 1 ֆունկցիայից x = 3 ֆունկցիայի մեջ։

Քննարկում.
Քայլ 1։ Գտեք f(x) = \frac{2}{x}\)-ի հակաածանցյալը՝ \(F(x)\)
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
Մենք գիտենք, որ՝
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]

Այսպիսով՝
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Եվ \( F(x) = 2 \ln |x| \).

Քայլ 2։ Հաշվարկեք F(x)-ի արժեքը տրված ինտեգրալային սահմաններում։
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]

Այսպիսով, ինտեգրալի արժեքը \(2 \ln3 \) է։

Օրինակ՝ հարց 5. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ

Հարց՝
Ինտեգրեք f(x) = sin x) ֆունկցիան x = 0 ֆունկցիայից մինչև pi ֆունկցիան։

Քննարկում.
Քայլ 1։ Գտեք f(x) = sin x)-ի հակաածանցյալը՝ F(x) ։
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Եվ \( F(x) = -\cos x \).

Քայլ 2։ Հաշվարկեք F(x)-ի արժեքը տրված ինտեգրալային սահմաններում։
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]

Այսպիսով, ինտեգրալային արժեքը 2 է։

Եզրակացություն

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը հզոր գործիք է հաշվարկի և ընդհանուր առմամբ մաթեմատիկայի մեջ: Ածանցյալներն ու ինտեգրալները կապելով՝ այս թեորեմը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել կորի տակ գտնվող մակերեսը և ավելի խորը հասկանալ ֆունկցիայի փոփոխությունը: Այս թեորեմի գործնականում հասկանալը և կիրառումը տիրապետելը հաշվարկի մեջ հմտանալու բանալին է: Այս հոդվածը միայն մակերեսորեն է մոտենում հաշվարկի հիմնարար թեորեմի միջոցով հնարավոր արդյունքներին, բայց հուսով եմ՝ այն պարզ պատկերացում է տալիս այն մասին, թե ինչպես աշխատել ամենահիմնարար մաթեմատիկական հասկացություններից մեկի հետ: