Շրջանակի հավասարման վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ
Շրջանագծի հավասարումը կարևոր թեմա է անալիտիկ երկրաչափության մեջ: Շրջանագծի հավասարման լավ ըմբռնումը չափազանց օգտակար է ոչ միայն մաթեմատիկայում, այլև տարբեր ճարտարագիտական և գիտական կիրառություններում: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք շրջանագծի հավասարումների և դրանց լուծումների մի քանի օրինակներ: Նպատակն է տրամադրել շրջանագծի հավասարումներ ներառող խնդիրների լուծման հստակ և համապարփակ պատկերացում:
Շրջանակի ընդհանուր հավասարում
Կարտեզյան կոորդինատներով շրջանագծի ամենատարածված հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Որտեղ՝
– \( (a, b) \)-ն շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատներն են։
– \(r\)-ն շրջանագծի շառավիղն է։
Եթե շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է \((0, 0)\ կետում, ապա շրջանագծի հավասարումը կլինի հետևյալը.
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Հիմա եկեք քննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները։
Օրինակ՝ հարց 1
Հարց՝ Որոշեք այն շրջանագծի հավասարումը, որի կենտրոնը գտնվում է (3, -2) կետում և որի շառավիղը 5 է։
Լուծում.
Օգտագործեք շրջանագծի հավասարման ընդհանուր բանաձևը.
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Փոխարինեք արժեքները՝ a = 3, b = -2 և r = 5:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Այսպիսով, շրջանագծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Օրինակ՝ հարց 2
Հարց՝ Որոշեք այն շրջանագծի հավասարումը, որի կենտրոնը գտնվում է 7 շառավղով և գտնվում է 0,0 կետի սկզբնակետում։
Լուծում.
Քանի որ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է անկյունների սկզբնակետում, կարող ենք օգտագործել պարզ հավասարումը.
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Փոխարինեք արժեքը \(r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Այսպիսով, շրջանագծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Օրինակ՝ հարց 3
Հարց՝ Որոշեք այն շրջանագծի հավասարումը, որի կենտրոնը գտնվում է (4, -5) կետում և շոշափում է Y առանցքը։
Լուծում.
Y-առանցքին շոշափող շրջանագիծը նշանակում է, որ շրջանագծի կենտրոնից մինչև Y-առանցքը հեռավորությունը հավասար է նրա շառավղին։ Այս հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնի X կոորդինատի բացարձակ արժեքն է։ Այսպիսով, շառավիղը 4 է։
Օգտագործեք շրջանագծի հավասարման ընդհանուր բանաձևը.
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Փոխարինեք արժեքները՝ a = 4, b = -5 և r = 4:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Այսպիսով, շրջանագծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Օրինակ՝ հարց 4
Հարց՝ Շրջանակն ունի հետևյալ հավասարումը. x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0։ Որոշեք շրջանագծի կենտրոնը և շառավիղը։
Լուծում.
Այս հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է այն վերածենք ստանդարտ տեսքի՝ \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \): Այն լրացնելու քայլերը հետևյալն են՝
1. Կատարյալ քառակուսիների խմբավորում և լուծում.
Սկզբնական հավասարումը հետևյալն է՝
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Խումբ (x) և (y):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Լուծեք լրիվ քառակուսին։
\(x^2 – 6x \)-ի համար։
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\(y^2 + 4y \)-ի համար։
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք 9 և 4 թվերը։
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Այսպիսով, շրջանագծի հավասարումը ստանդարտ տեսքով հետևյալն է.
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Այստեղից կարող ենք տեսնել, որ շրջանագծի կենտրոնը \((3, -2) \) է, իսկ շառավիղը՝ \(r = \sqrt{25} = 5 \)։
Օրինակ՝ հարց 5
Հարց՝ Որոշեք այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է (2, 3) և (4, 5) կետերով, և որի կենտրոնը գտնվում է x = 3 ուղղի վրա։
Լուծում.
Հարցից մենք գիտենք, որ շրջանագծի կենտրոնը (3, b) է։ Շրջանակը նաև անցնում է երկու հայտնի կետերով։ Քանի որ շրջանագիծն անցնում է (2, 3) կետով, կենտրոնից մինչև այս կետը հեռավորությունը շառավիղն է։
Շրջանակի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Փոխարինման կետ (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – բ)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – բ)^2 = r^2 \]
\[ (3 – բ)^2 = r^2 – 1 \]
Փոխարինման կետ (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – բ)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – բ)^2 = r^2 \]
\[ (5 – բ)^2 = r^2 – 1 \]
Երկու հավասարումներից մենք գիտենք, որ (3 – b)^2 = (5 – b)^2: Այսպիսով՝
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Եթե \( 3 – b = 5 – b \), արդյունքը չի կարող ճշմարիտ լինել։ Այսպիսով՝
\[ 3 – բ = -(5 – բ) \]
\[ բ = 4 \]
b = 4-ի դեպքում շրջանագծի հավասարումը կլինի՝
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Այնուամենայնիվ, մենք կարող ենք հաշվարկել շառավիղը r՝ ելնելով կենտրոնի և (2, 3) կետի միջև եղած հեռավորությունից = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Շրջանակի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Եզրակացություն
Շրջանագծի հավասարումը հասկանալը կարող է պարզեցնել բազմաթիվ մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը: Յուրաքանչյուր դեպքում կենտրոնի և շառավղի որոշումը կարևոր է: Հուսով ենք, որ այս օրինակելի խնդիրները և դրանց բացատրությունները պարզաբանումներ կտան և կօգնեն ձեզ սովորել շրջանագծի հավասարումը: Պրակտիկան կատարյալ է մաթեմատիկայում, այնպես որ մի հապաղեք փորձել տարբեր խնդիրներ՝ ձեր հմտությունները բարելավելու համար:
