Քննարկման հարցի օրինակ՝ զուգահեռագծի մեթոդով երկու վեկտորների գումարման վերաբերյալ

Օրինակելի հարց, որը քննարկում է երկու վեկտորների գումարումը՝ օգտագործելով զուգահեռագծի մեթոդը

Վեկտորների գումարումը ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի կարևորագույն հասկացություն է, որը հաճախ օգտագործվում է բնական երևույթները և առօրյա կյանքի խնդիրները նկարագրելու համար: Երկու վեկտոր գումարելու մի քանի մեթոդներ կան, որոնցից մեկը զուգահեռագծի մեթոդն է: Այս մեթոդը ոչ միայն ինտուիտիվ է, այլև հզոր պատկերացում է տալիս այն մասին, թե ինչպես են երկու վեկտորները միավորվում՝ ստանալով արդյունքային վեկտոր: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք զուգահեռագծի մեթոդով վեկտորների գումարման մի քանի օրինակներ՝ դրանց լուծումների հետ միասին:

Ի՞նչ է վեկտորը։

Մինչև օրինակելի խնդիրներին անցնելը, մենք պետք է հասկանանք վեկտորի հիմնական սահմանումը։ Վեկտորը մեծություն է, որն ունի և՛ մեծություն (երկարություն), և՛ ուղղություն։ Վեկտորների դասական օրինակներից են արագությունը, արագացումը, ուժը և տեղաշարժը։ Վեկտորը կարող է ներկայացվել որպես դրա բաղադրիչներ (i, j, k) կարտեզյան կոորդինատներով կամ որպես դրա երկարություն և ուղղություն (անկյուն)։

Զուգահեռագրության մեթոդ

Զուգահեռագրության մեթոդը երկու վեկտոր գումարելու միջոցներից մեկն է։ Այս մեթոդում մենք երկու վեկտորը ներկայացնում ենք որպես զուգահեռագրության երկու կողմեր։ Արդյունքում ստացված վեկտորը զուգահեռագրության անկյունագիծն է՝ սկսած երկու վեկտորների սկզբնակետից։ Մաթեմատիկորեն, եթե մենք ունենք երկու վեկտոր՝ \(\vec{A}\) և \(\vec{B}\), արդյունքում ստացվածը \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) է։

Զուգահեռագծի մեթոդը կիրառելու քայլ առ քայլ մեթոդը հետևյալն է.
1. Նկարեք վեկտորը \(\vec{A}\)՝ սկսած սկզբնակետից։
2. \(\vec{A}\ վեկտորի ծայրից գծեք \(\vec{B}\) վեկտորը։
3. Գծեք \(\vec{B}\) վեկտորին զուգահեռ գիծ՝ սկսած \(\vec{A}\) սկզբնակետից։
4. Վեկտորի (Vec{A) ծայրից գծեք վեկտորին զուգահեռ գիծ։
5. Գծեք անկյունագիծ սկզբնակետից մինչև հակառակ անկյունը՝ արդյունքում ստացված վեկտորը \(\vec{R}\) ստանալու համար։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Հարց 1

Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու վեկտոր՝ \(\vec{A}\) և \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\)-ն ունի 5 միավոր երկարություն (մեծություն) և 0° ուղղություն (կամ դրական x առանցքի երկայնքով),
– \(\vec{B}\)-ն ունի 3 միավոր երկարություն և 90° ուղղություն (կամ դրական y առանցքի երկայնքով):

Ի՞նչ արժեք կստանաք այս երկու վեկտորները զուգահեռագծի մեթոդով գումարելուց հետո։

Քննարկում.

1. Նկարեք \(\vec{A}\) վեկտորը դրական x առանցքի երկայնքով՝ 5 միավոր երկարությամբ։
2. \(\vec{A}\ վեկտորի ծայրից գծեք \(\vec{B}\) վեկտորը դրական y առանցքի երկայնքով՝ 3 միավոր երկարությամբ։
3. Սկզբնական կետից՝ \(\vec{A}\), գծեք \(\vec{B}\)-ին զուգահեռ գիծ։
4. \(\vec{B}\)-ի վերջից գծեք \(\vec{A}\)-ին զուգահեռ գիծ։
5. Արդյունքում ստացվում է զուգահեռագիծ՝ անկյունագծով, որը արդյունարար վեկտորն է՝ \(\vec{R}\):

Քանի որ \(\vec{A}\)-ն և \(\vec{B}\)-ն ուղղահայաց են միմյանց, կարող ենք օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը՝ ստացված վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու համար։

\[ R = A^2 + B^2} = 5^2 + 3^2} = 25 + 9} = 34} մոտավորապես 5.83 \]

Արդյունքում ստացված վեկտորի ուղղությունը կարելի է հաշվարկել եռանկյունաչափության միջոցով։ Եթե \(\theta\)-ն արդյունքի և \(\vec{A}\-ի միջև ընկած անկյունն է, ապա՝

\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]

այսպես՝

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]

Այսպիսով, ստացված \(\vec{R}\) վեկտորը ունի մոտ 5.83 միավոր մեծություն և մոտ 30.96° ուղղություն \(\vec{A}\)-ից։

Հարց 2

Երկու վեկտորները՝ \(\vec{C}\) և \(\vec{D}\) տրված են հետևյալ կերպ՝
– \(\vec{C}\)՝ 4 միավոր երկարությամբ և 45° ուղղությամբ։
– \(\vec{D}\)՝ 6 միավոր երկարությամբ և 120° ուղղությամբ։

Երկու վեկտորների գումարումից որոշեք ստացված վեկտորը՝ \(\vec{R}\):

Քննարկում.

Երկու վեկտորներ գումարելու համար, որոնք միմյանց ուղղահայաց չեն կամ տարբեր ձևերի չեն, կարող եք օգտագործել կարտեզյան բաղադրիչները։

1. \(\vec{C}\)-ը և \(\vec{D}\)-ը բաժանեք x և y բաղադրիչների։

\(\vec{C}\)-ի համար՝
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]

\(\vec{D}\)-ի համար՝
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]

2. Գումարեք երկու վեկտորների x և y բաղադրիչները։
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]

3. Հաշվարկեք ստացված վեկտորի \(\vec{R}\ մեծությունը և ուղղությունը։
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]

Քանի որ արդյունքը բացասական է, մենք ավելացնում ենք 180°՝ ճիշտ քառորդային համակարգում անկյունը ստանալու համար։
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]

Այսպիսով, արդյունքում ստացված \(\vec{R}\) վեկտորը ունի մոտ 8.03 միավոր մեծություն և մոտ 271.93° ուղղություն, կամ կարող ենք ասել մոտ 91.93°՝ չորրորդ քառորդում բացասական x առանցքից։

Penutup

Զուգահեռագրության մեթոդը երկու վեկտոր գումարելու արդյունավետ և տեսողական միջոց է: Թեև այս մեթոդը կարող է պարզ թվալ պարզ վեկտորների համար, կարևոր է հասկանալ, որ ավելի բարդ վեկտորների համար մենք հաճախ անհրաժեշտ է օգտագործել կարտեզյան բաղադրիչներ և ավելի առաջադեմ հանրահաշվական տեխնիկա՝ ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու համար: Հուսով ենք, որ վերը նշված օրինակները հստակ պատկերացում են տալիս այն մասին, թե ինչպես կարելի է կիրառել այս մեթոդը տարբեր իրավիճակներում: