Օրինակելի հարցեր և բաշխման չափանիշների քննարկում
Դիսպերսիայի չափանիշները վիճակագրական հասկացություններ են, որոնք օգտագործվում են տվյալների բազմության մեջ տվյալների տարածվածության կամ բազմազանության նկարագրման համար: Դիսպերսիայի մասշտաբը ավելի խորը պատկերացում է տալիս տվյալների բաշխման մասին՝ բացահայտելով այնպիսի տեղեկատվություն, որը հնարավոր չէ տեսնել պարզապես միջնարժեքից և միջինից: Այս հոդվածում կքննարկվեն դիսպերսիայի չափանիշներին վերաբերող մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց քննարկումը՝ այս հասկացությունը պարզաբանելու համար: Կան դիսպերսիայի տարբեր չափանիշներ, այդ թվում՝ տիրույթը, ստանդարտ շեղումը, դիսպերսիան և միջքառորդային տիրույթը (IQR):
1. Հեռավորություն
Սահմանում
Միջակայքը տվյալների հավաքածուի ամենաբարձր և ամենացածր արժեքների միջև տարբերությունն է։
Խնդիրների օրինակ
Ֆուտբոլային թիմը վերջին 10 խաղերում խփած գոլերի քանակը գրանցում է հետևյալ կերպ.
3, 5, 2, 8, 7, 2, 6, 9, 4 և 1։
Քննարկում
Միջակայքը հաշվարկելու համար մենք պետք է գտնենք տվյալների առավելագույն և նվազագույն արժեքները:
– Առավելագույն միավոր՝ 9
– Նվազագույն արժեք՝ 1
Միջակայք = Առավելագույն արժեք – Նվազագույն արժեք = 9 – 1 = 8
Այսպիսով, վերջին 10 խաղերում խփված գոլերի միջակայքը 8 գոլ է։
2. Ստանդարտ շեղում
Սահմանում
Ստանդարտ շեղումը չափման միավոր է, որը ցույց է տալիս, թե որքանով է տվյալների բազմության յուրաքանչյուր արժեքը հեռու իր միջին արժեքից: Ստանդարտ շեղումը դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է:
Խնդիրների օրինակ
Ահա դասարանի մաթեմատիկայի թեստերի միավորները՝ 65, 70, 75, 80 և 85։
Քննարկում
Առաջին քայլը միջին միավորի հաշվարկն է։
\[
\text{Միջին} = \frac{65 + 70 + 75 + 80 + 85}{5} = 75
\]
Երկրորդ քայլը յուրաքանչյուր արժեքի և միջինի միջև եղած տարբերությունը հաշվարկելն է, այնուհետև արդյունքը քառակուսի դարձնելը՝
– (65 – 75)² = 100
– (70 – 75)² = 25
– (75 – 75)² = 0
– (80 – 75)² = 25
– (85 – 75)² = 100
Երրորդ քայլը դիսպերսիան գտնելն է՝ հաշվարկելով տարբերությունների քառակուսիների միջինը։
\[
\text{Վարիանս} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50
\]
Ստանդարտ շեղումը փոփոխականության քառակուսի արմատն է՝
\[
Ստանդարտ շեղում = 50 = մոտավորապես 7.07
\]
Այսպիսով, թեստի միավորների ստանդարտ շեղումը մոտ 7.07 է։
3. Տարբերություն
Սահմանում
Վարիացիան յուրաքանչյուր արժեքի և դրա միջին արժեքի միջև եղած տարբերությունների քառակուսային միջինն է։ Այն նկարագրում է, թե որքանով են տվյալները տարածված միջին արժեքի շուրջ։ Վարիացիան ստանդարտ շեղման քառակուսին է։
Խնդիրների օրինակ
Ենթադրենք, որ մենք ունենք հետևյալ տվյալների հավաքածուն՝ 10, 20, 30, 40 և 50։
Քննարկում
Առաջին քայլը տվյալների միջին արժեքի հաշվարկն է։
\[
\text{Միջին} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = 30
\]
Երկրորդ քայլը յուրաքանչյուր արժեքի և միջինի միջև եղած տարբերությունը հաշվարկելն է, այնուհետև արդյունքը քառակուսի դարձնելը՝
– (10 – 30)² = 400
– (20 – 30)² = 100
– (30 – 30)² = 0
– (40 – 30)² = 100
– (50 – 30)² = 400
Երրորդ քայլը դիսպերսիան գտնելն է՝ հաշվարկելով տարբերությունների քառակուսիների միջինը։
\[
\text{Վարիանս} = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = 200
\]
Այսպիսով, տվյալների բազմության դիսպերսիան 200 է։
4. Միջքառորդային միջակայք (IQR)
Սահմանում
Միջքառորդական միջակայքը (ՄՄԴ) երրորդ քվարտիլի (Q3) և առաջին քվարտիլի (Q1) միջև տարբերությունն է։ ՄՄԴ-ն ցույց է տալիս տվյալների բազմության մեջ տվյալների միջին 50%-ից սկսած տարածման չափը, որը կարող է ավելի տեղեկատվական լինել, քան միջակայքը։
Խնդիրների օրինակ
Հետևյալ տվյալների բազմությունն ունի հետևյալ արժեքները՝ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 և 14:
Քննարկում
Նախ, մենք պետք է տեսակավորենք տվյալները՝
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14
Q1-ը և Q3-ը հաշվարկելու համար մենք պետք է տվյալները բաժանենք քվարտիլների։
– Միջնարժեքը (Q2) գտնվում է 6-ի և 7-ի միջև՝ \((6+7)/2 = 6.5\)
Առաջին եռամսյակի համար մենք վերցնում ենք ստորին արժեքների միջնարժեքը.
– 1, 3, 4, 5, 6
– Այս ենթաբազմության միջնարժեքը 4 է
Երրորդ եռամսյակի համար մենք վերցնում ենք վերին արժեքների միջնարժեքը.
– 7, 8, 11, 13, 14
– Այս ենթաբազմության միջնարժեքը 11 է
Միջքառորդային միջակայք (IQR) = Q3 – Q1 = 11 – 4 = 7
Այսպիսով, տվյալների բազմության IQR-ը 7 է։
Եզրակացություն
Դիսպերսիայի չափանիշները վիճակագրության կարևոր ասպեկտներ են, որոնք օգնում են մեզ հասկանալ տվյալների տատանման աստիճանը: Այս հոդվածում մենք քննարկել և օրինակներ ու քննարկումներ ենք ներկայացրել դիսպերսիայի մի քանի լայնորեն օգտագործվող չափանիշների համար՝ միջակայք, ստանդարտ շեղում, դիսպերսիա և միջքառորդային միջակայք: Հասկանալով այս հասկացությունները և դրանց հաշվարկման եղանակը՝ մենք ավելի լավ ենք հասկանում վերլուծվող տվյալների բնութագրերը, ինչը, իր հերթին, կարող է օգնել մեզ ավելի տեղեկացված որոշումներ կայացնել այդ տվյալների հիման վրա:
