Վեկտորների հանման վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Վեկտորների հանման հարցերի օրինակներ և քննարկում

Պենդահուլուան

Մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում վեկտորները հիմնարար հասկացություն են, որն օգտագործվում է բազմաթիվ բնական և ճարտարագիտական ​​​​երևույթներ բացատրելու համար: Վեկտորը մեծություն է, որն ունի և՛ մեծություն, և՛ ուղղություն: Վեկտորների որոշ կարևոր օրինակներ են տեղաշարժը, արագությունը, արագացումը և ուժը: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք վեկտորների հանումը, չնայած այս թեման հաճախ շեշտադրվում է վեկտորների համակցության համատեքստում:

Վեկտորների հանումը վեկտորային վերլուծության մեջ կարևորագույն հիմնարար գործողություն է: Այս հասկացության մեջ ավելի խորը խորանալու համար եկեք վերանայենք վեկտորների հանման հետ կապված որոշ օրինակելի խնդիրներ և քննարկումներ:

Վեկտորի հանում

Վեկտորի հանումը {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} սահմանվում է որպես վեկտորը {\displaystyle \mathbf{A}}-ն {\displaystyle -\mathbf{B}} վեկտորին գումարելու գործողություն, որտեղ {\displaystyle -\mathbf{B}}-ն վեկտոր է, որն ունի նույն մեծությունը, ինչ {\displaystyle \mathbf{B}}-ն, բայց հակառակ ուղղությամբ։ Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

{\ցուցադրման ոճ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Հարց 1. Երկչափ վեկտորների հանում

Ենթադրենք, որ կարտեզյան կոորդինատներում կան երկու վեկտորներ՝
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} և {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}։ Հաշվարկեք {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}-ը։

Քննարկում.

Առաջին քայլը {\displaystyle \mathbf{B}}-ի բացասական վեկտորը գտնելն է, այսինքն՝

{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}

Հաջորդը, գումարեք վեկտորը {\displaystyle \mathbf{A}}՝ օգտագործելով {\displaystyle -\mathbf{B}}:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

Կատարեք վեկտորների գումարում՝ գումարելով յուրաքանչյուր x և y բաղադրիչը։

{\ցուցադրման ոճ \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

Այսպիսով, վեկտորները {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} հանելու արդյունքը (3, 1) վեկտորն է։

Հարց 2. Եռաչափ վեկտորների հանում

Տրված են երկու վեկտորներ եռաչափ կոորդինատներով՝
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} և {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}։ Հաշվարկեք {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}-ը։

Քննարկում.

Առաջին քայլը {\displaystyle \mathbf{Q}}-ի բացասական վեկտորը գտնելն է։

{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}

Հաջորդը, գումարեք վեկտորը {\displaystyle \mathbf{P}}՝ օգտագործելով {\displaystyle -\mathbf{Q}}:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

Կատարեք վեկտորների գումարում՝ գումարելով յուրաքանչյուր x, y և z բաղադրիչը։

{\ցուցադրման ոճ \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

Այսպիսով, վեկտորները {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} հանելու արդյունքը (5, -9, -1) վեկտորն է։

Հարց 3. Վեկտորների հանումը բարդ հարթությունում

Ենթադրենք, որ կան երկու վեկտորներ, որոնք ներկայացված են բարդ թվերով.
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} և {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}։ Հաշվարկեք {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}-ը։

Քննարկում.

Առաջին քայլը {\displaystyle \mathbf{N}}-ի բացասական վեկտորը գտնելն է։

{\ցուցադրման ոճ -\mathbf{N} = -1 – 2i}

Հաջորդը, գումարեք վեկտորը {\displaystyle \mathbf{M}}՝ օգտագործելով {\displaystyle -\mathbf{N}}:

{\ցուցադրման ոճ \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

Վեկտորների գումարում կատարեք՝ գումարելով յուրաքանչյուր իրական և կեղծ բաղադրիչները։

{\ցուցադրման ոճ \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

Այսպիսով, վեկտորները {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} հանելու արդյունքը 2 + 2i կոմպլեքս թիվն է։

Հարց 4. Վեկտորի հանումը բևեռային կոորդինատային համակարգում

Ենթադրենք, որ բևեռային կոորդինատներում կան երկու վեկտորներ՝
{\displaystyle \mathbf{U}}-ն ունի 5 մեծություն և 30° անկյուն,
և {\displaystyle \mathbf{V}}-ն ունի 3 մեծություն և 150° անկյուն։
Հաշվարկել {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}-ը։

Քննարկում.

Առաջին քայլը {\displaystyle \mathbf{U}} և {\displaystyle \mathbf{V}} վեկտորները դեկարտյան կոորդինատների փոխարկելն է։
{\displaystyle \mathbf{U}}-ի համար՝
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

Այսպիսով, կարտեզյան ֆորմուլայում {\displaystyle \mathbf{U}}-ն հավասար է (4.33, 2.5):

{\displaystyle \mathbf{V}}-ի համար՝
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

Այսպիսով, կարտեզյան ֆորմուլայում {\displaystyle \mathbf{V}}-ն հավասար է (-2.598, 1.5):

Հաջորդ քայլը, հաշվարկեք վեկտորի հանումը կարտեզյան ալգորիթմով.

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

Որը նշանակում է վեկտորի բացասականը գումարելով՝

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

Այսպիսով, վեկտոր {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}-ը դեկարտյան կոորդինատներով հանելու արդյունքը (6.928, 1) է։

Եզրակացություն

Վեկտորների հանումը կարևոր մաթեմատիկական գործողություն է վեկտորային վերլուծություն օգտագործող բազմաթիվ ոլորտներում: Անկախ նրանից՝ երկչափ, եռաչափ, բարդ, թե բևեռային կոորդինատային համակարգերում, հիմնական սկզբունքը մնում է նույնը՝ մեկ վեկտորի գումարումը մյուսի բացասականին: Վերը նշված օրինակները ցույց են տալիս այս գործողությունը տարբեր համատեքստերում կիրառելու տարբեր եղանակներ՝ օգնելով մեզ ավելի խորը և գործնականում հասկանալ հասկացությունը: