Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են վեկտորների գումարումը ըստ բաղադրիչների
Վեկտորների գումարումը ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի մեջ հիմնարար ընթացակարգ է, որն օգտագործվում է երկու կամ ավելի վեկտորների արդյունքը գտնելու համար: Վեկտորների գումարման լուծման բաղադրիչներային մոտեցումը հատկապես օգտակար մեթոդ է, հատկապես, երբ գործ ունենք երկու կամ երեք չափումներով վեկտորների հետ: Այս հոդվածը կբացատրի բաղադրիչներային վեկտորների գումարման հասկացությունը և կներկայացնի մի քանի օրինակելի խնդիրներ ու լուծումներ:
Կոմպոնենտային վեկտորների գումարման հայեցակարգը
Երկչափ (2D) տարածության մեջ յուրաքանչյուր վեկտոր կարելի է բաժանել երկու բաղադրիչի՝ x (հորիզոնական) և y (ուղղահայաց) բաղադրիչների։ Եռաչափ (3D) տարածությունում վեկտորներն ունեն լրացուցիչ բաղադրիչ՝ z (խորության) բաղադրիչը։
Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու վեկտոր՝ A և B: Այս վեկտորների բաղադրիչները կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝
– Վեկտոր A-ն ունի \(A_x\) և \(A_y\) բաղադրիչներ երկչափ պատկերում (կամ նաև \(A_z\) եռաչափ պատկերում):
– B վեկտորը երկչափ պատկերում ունի \(B_x\) և \(B_y\) բաղադրիչներ (կամ նաև \(B_z\) եռաչափ պատկերում):
Այս երկու վեկտորների գումարումը կստացնի R վեկտոր, որն ունի հետևյալ բաղադրիչները՝
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Եռաչափ վեկտորների համար z բաղադրիչը նույնպես հետևյալն է՝
\[ R_z = A_z + B_z \]
Արդյունքում ստացված վեկտորի յուրաքանչյուր բաղադրիչը հաշվարկելուց հետո, մենք կարող ենք գտնել ստացված վեկտորի մոդուլը (մեծությունը) և ուղղությունը՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը.
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D-ի համար)
Կամ 3D-ի համար՝
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Եվ արդյունքում ստացված վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել կոորդինատային առանցքների նկատմամբ անկյան միջոցով։
Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Հարց 1
Տրված են երկու վեկտորներ երկչափ հարթության մեջ՝
– A-ն \(5 \, \text{միավոր}\) է դեպի արևելք։
– B-ն \(3 \, \text{միավոր}\) հյուսիսում է։
Որոշեք արդյունքում ստացված վեկտորը R։
Քննարկում
Նախ, մենք վեկտորը վերածում ենք դրա համապատասխան բաղադրիչների։
– Վեկտոր A : \(A = (5, 0)\), քանի որ այն ունի միայն x բաղադրիչ։
– Վեկտոր B : \(B = (0, 3)\), քանի որ այն ունի միայն y բաղադրիչ։
Ահա բաղադրիչների գումարը.
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Այնուհետև արդյունքում ստացված վեկտորը R կլինի՝
\[ R = (5, 3) \]
R վեկտորի երկարությունը (մոդուլը) հաշվարկելու համար՝
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
R վեկտորի ուղղությունը կարելի է հաշվարկել x առանցքի նկատմամբ θ անկյան միջոցով՝
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Այսպիսով, ստացված R վեկտորը ունի մոտ 5.83 միավոր երկարություն և x առանցքի հետ կազմում է 30.96° անկյուն։
Հարց 2
Տրված են երկու վեկտորներ երեք չափումներում՝
– A-ն \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) է։
– B-ն (1 i + 4 j + 2 k) է։
Որոշեք արդյունքում ստացված վեկտորը R։
Քննարկում
Նախ, մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր վեկտորի բաղադրիչները՝
– Վեկտոր A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Վեկտոր B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Ահա բաղադրիչների գումարը.
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Այնուհետև արդյունքում ստացված վեկտորը R կլինի՝
\[ R = (4, 6, 3) \]
R վեկտորի երկարությունը (մոդուլը) հաշվարկելու համար՝
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
R վեկտորի ուղղությունը x, y և z առանցքների նկատմամբ կարելի է հաշվարկել ուղղորդի կոսինուսի միջոցով՝
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]
\[ \cos(\գամմա) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \մոտավորապես 0.384 \]
\[ \գամմա = \arccos(0.384) \մոտավորապես 67.64^\circ \]
Այսպիսով, ստացված R վեկտորն ունի մոտ 7.81 միավոր երկարություն, իսկ x, y և z առանցքների նկատմամբ դրա ուղղությունները՝ 59.50°, 39.50° և 67.64°։
Հարց 3
Տրված են երկու վեկտորներ՝
– P-ն ունի 4 միավոր մեծություն և կազմում է 45° անկյուն դրական x առանցքի նկատմամբ։
– Q-ն ունի 6 միավոր մեծություն և կազմում է 120° անկյուն դրական x առանցքի նկատմամբ։
Որոշեք արդյունքում ստացված վեկտորը R։
Քննարկում
Նախ, մենք վեկտորը բաժանում ենք x և y բաղադրիչների՝
– Վեկտոր P: (P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), (P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Վեկտոր Q: (Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), (Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Ահա բաղադրիչների գումարը.
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Այնուհետև, արդյունքում ստացված վեկտորը R կլինի՝
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
R վեկտորի երկարությունը (մոդուլը) հաշվարկելու համար՝
\[ |R| = (-0.17)^2 + 8.03^2} = 0.0289 + 64.48} = 64.509} մոտավորապես 8.03 \]
Վեկտորի R ուղղությունը՝
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
Սակայն այս անկյունը չափվում է բացասական x առանցքի շուրջ, ուստի խնդրի համատեքստում իրական անկյունը հետևյալն է՝
\[ 180^\շրջան – 88.99^\շրջան \մոտավորապես 91.01^\շրջան \]
Այսպիսով, ստացված R վեկտորը ունի մոտ 8.03 միավոր երկարություն և կազմում է 91.01° անկյուն դրական x առանցքի հետ։
Այս հոդվածում քննարկվել է բաղադրիչներով վեկտորների գումարումը՝ տրամադրելով մի քանի օրինակելի խնդիրներ և լուծումներ: Բաղադրիչներով մեթոդը շատ օգտակար է հաշվարկները պարզեցնելու և տարածության մաթեմատիկական չափման մեջ վեկտորային խնդիրները լուծելու համակարգված միջոց ապահովելու համար:
