Ինտեգրալ կիրառությունների օրինակելի հարցեր և քննարկում
Ինտեգրացիան մաթեմատիկական հաշվարկի հիմնարար հասկացություն է, որն ունի բազմաթիվ կիրառություններ գիտության տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, տնտեսագիտությունը, կենսաբանությունը և ճարտարագիտությունը: Ինտեգրալները օգտագործվում են կորի տակ գտնվող մակերեսը, պինդ մարմնի ծավալը, աշխատանքը, ճնշումը և այլն հաշվարկելու համար: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ինտեգրալային կիրառությունների մի քանի օրինակներ, որոնց կհաջորդեն դրանց լուծման մանրամասն բացատրությունները:
1. Կորի տակ գտնվող մակերեսի որոշումը
Ինտեգրալների ամենատարածված կիրառություններից մեկը ֆունկցիայի կորի տակ գտնվող մակերեսի հաշվարկն է տրված միջակայքում։ Ենթադրենք, որ մենք ուզում ենք գտնել \(y = x^2\) կորով և \(x\) առանցքով սահմանափակված տիրույթի մակերեսը՝ \(x = 0\)-ից մինչև \(x = 2\)։
Խնդիրների օրինակ՝
Որոշեք (y = x^2) կորի տակի մակերեսը՝ (x = 0)-ից մինչև (x = 2)։
Քննարկում.
Կորի տակի մակերեսը (y = x^2)՝ (x = 0)-ից մինչև (x = 2) ընկած հատվածը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիայի որոշյալ ինտեգրալը՝
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Քայլ 1։ Որոշեք \(x^2\)-ի ինտեգրալը։
Նկատի ունեցեք, որ \(x^2\)-ի ինտեգրալը հետևյալն է՝
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Քայլ 2։ Կիրառեք ինտեգրալային սահմանը՝ \(0\) \(2\)-ի վրա։
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Քայլ 3. Հաշվարկեք սահմանային արժեքը։
\[ ձախ. \frac{x^3}{3} \աջ|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Այսպիսով, \(y = x^2\) կորի տակ գտնվող մակերեսը \(x = 0\)-ից մինչև \(x = 2\) \(\frac{8}{3}\) միավոր է։
2. Պտտվող մարմինների ծավալի հաշվարկը
Ինտեգրալները նաև օգտագործվում են պտտվող պինդ մարմինների ծավալը հաշվարկելու համար։ Եթե որևէ շրջան պտտվում է \(x\) առանցքի շուրջ, ապա մարմնի ծավալը կարելի է գտնել սկավառակի կամ օղակի մեթոդով։
Խնդիրների օրինակ՝
Հաշվարկեք ստացված մարմնի ծավալը, երբ \(y = \sqrt{x}\) կորով և \(x = 4\) գծով սահմանափակված տարածքը պտտվում է \(x\) առանցքի շուրջը։
Քննարկում.
Պտտվող պինդ մարմնի ծավալը գտնելու համար կարող ենք օգտագործել սկավառակի մեթոդը։ Արդյունքում ստացված պինդ մարմնի ծավալը (V) կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Որտեղ՝ f(x) = x), a = 0 և b = 4։
Քայլ 1։ Կազմեք ծավալային ինտեգրալը։
V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]
Քայլ 2։ Պարզեցրեք ինտեգրալի ֆունկցիան։
V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
Քայլ 3։ Որոշեք \(x\)-ի ինտեգրալը։
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Քայլ 4։ Կիրառեք \(0\) սահմանները \(4\)-ի նկատմամբ։
\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
Քայլ 5. Հաշվարկեք սահմանային արժեքը։
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Այսպիսով, ստացված մարմնի ծավալը \(8\pi\) ծավալի միավոր է։
3. Փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքի հաշվարկը
Ինտեգրալ կիրառություններ կան նաև ֆիզիկայում, որոնցից մեկը փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքի հաշվարկն է, երբ մարմինը տեղափոխվում է մեկ կետից մյուսը։
Խնդիրների օրինակ՝
Նյուտոնի ուժը (F(x) = 3x^2) ազդում է (x = 1) մետրից մինչև (x = 3) մետր շարժվող մասնիկի վրա։ Հաշվարկեք ուժի կատարած աշխատանքը։
Քննարկում.
F(x) ուժի կատարած W աշխատանքը կարելի է գտնել՝ հաշվարկելով F(x)-ի ինտեգրալը a-ից b-ի տեղաշարժի նկատմամբ։
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Որտեղ՝ (a = 1), (b = 3) և (F(x) = 3x^2)։
Քայլ 1։ Կազմեք աշխատանքի ինտեգրալը։
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Քայլ 2։ Որոշեք \(3x^2\)-ի ինտեգրալը։
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
Քայլ 3։ Կիրառեք \(1\) սահմանները \(3\)-ի նկատմամբ։
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
Քայլ 4. Հաշվարկեք սահմանային արժեքը։
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Այսպիսով, ուժի կատարած աշխատանքը \(26\) ջոուլ է։
4. Հիդրոստատիկ ճնշման որոշում
Ֆիզիկայում ինտեգրալները օգտագործվում են նաև հեղուկի մեջ ընկղմված մակերեսի վրա հիդրոստատիկ ճնշումը հաշվարկելու համար։
Խնդիրների օրինակ՝
6 մետր բարձրությամբ և 4 մետր լայնությամբ ուղղահայաց սալը ընկղմված է ջրի մեջ, որի գագաթը գտնվում է ջրի մակերևույթից վերև։ Հաշվարկեք սալիկի վրա ջրի ճնշման ընդհանուր ուժը։
Քննարկում.
Ջրի մեջ (h) խորության վրա ճնշումը տրվում է (P = \rho gh\) բանաձևով, որտեղ \rho -ն ջրի խտությունն է (մոտ \(1000 կգ/մ^3\)), իսկ \(g) -ն՝ ձգողականության արագացումը (մոտ \(9.8 մ/վ^2\)):
Ընդհանուր ճնշման ուժի համար մենք պետք է ինտեգրենք ճնշումը ափսեի ուղղահայաց մակերեսի վրա։
Քայլ 1։ Որոշեք ճնշման ֆունկցիան։
P(y) = ≤ ...
Քայլ 2։ Ընդհանուր ուժը՝ \(F\), ճնշման և տարրական մակերեսի \(dA\) արտադրյալի ինտեգրալն է՝ \(y = 0\)-ից մինչև \(y = 6\)։
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Քայլ 3։ Պարզեցրեք հաստատունները։
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Քայլ 4։ Որոշեք \(y\)-ի ինտեգրալը։
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Քայլ 5։ Կիրառեք \(0\) սահմանները \(6\)-ի նկատմամբ։
\[ F = 4 √ 1000 √ 9.8 √ [ \frac{y^2}{2} √ ]_{0}^{6} ]
Քայլ 6. Հաշվարկեք սահմանային արժեքը։
\[ F = 4 √ 1000 √ 9.8 √ 6^2}{2} = 4 √ 1000 √ 9.8 √ 18 = 705600 \]
Այսպիսով, թիթեղի վրա ջրի ճնշման ընդհանուր ուժը \(705600\) Նյուտոն է։
Եզրակացություն
Ինտեգրալների կիրառումը տարբեր կիրառություններում հսկայական վերլուծական հզորություն է ապահովում բարդ ֆիզիկական մեծությունների հաշվարկման համար: Այս հոդվածում մենք քննարկել ենք, թե ինչպես են ինտեգրալները կիրառվում կորի տակ գտնվող մակերեսը, պտտվող պինդ մարմնի ծավալը, փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքը և հիդրոստատիկ ճնշումը հաշվարկելու համար: Ինտեգրման տեխնիկայի լավ ըմբռնմամբ մենք կարող ենք լուծել գիտության և ճարտարագիտության մեջ առաջացող բազմաթիվ գործնական խնդիրներ:
