Վերլուծական երկրաչափության քննարկման հարցերի օրինակ
Պենդահուլուան
Անալիտիկ երկրաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որը համատեղում է հանրահաշիվը և երկրաչափությունը՝ տարածության և ձևի հետ կապված խնդիրներ լուծելու համար: Այն հզոր գործիք է, որը թույլ է տալիս վերլուծել երկրաչափական խնդիրներ՝ օգտագործելով հավասարումներ և կոորդինատներ: Այս հոդվածում կքննարկվեն անալիտիկ երկրաչափության մակերեսային խնդիրների մի քանի օրինակներ և մանրամասն կքննարկվեն դրանք՝ ավելի խորը ըմբռնումը հեշտացնելու համար:
Օրինակ՝ հարց 1. Գծային հավասարում
Հարց՝
Տրված են երկու A(1, 2) և B(3, 7) կետեր։ Որոշեք այդ երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։
Քննարկում.
Երկու կետերով անցնող գծի հավասարումը գտնելու համար կարող ենք օգտագործել թեքության (գրադիենտի) m բանաձևը՝
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
A(x1, y1) = (1, 2) կետի և B(x2, y2) = (3, 7) կետի դեպքում՝
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք գծի հավասարման բանաձևը.
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Մեկ կետի փոխարինում, օրինակ՝ A(1, 2) կետը։
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Փոխարկեք այս ձևը y-ի համար բացահայտ հավասարման՝
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Այսպիսով, գծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Օրինակ հարց 2. Շրջանագիծ
Հարց՝
Որոշեք C(-2, 3) կետում կենտրոնացած և 4 շառավղով շրջանագծի հավասարումը։
Քննարկում.
(h, k) կետում կենտրոնով և r շառավղով շրջանագծի ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է՝
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Հարցից ելնելով՝ շրջանագծի կենտրոնը (h, k) = (-2, 3) է, իսկ շառավիղը՝ r = 4: Այսպիսով,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Այսպիսով, շրջանագծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Օրինակ՝ հարց 3. Պարաբոլա
Հարց՝
Որոշեք ուղղահայաց պարաբոլայի հավասարումը, որի գագաթնակետը գտնվում է (1, -2) կետում և կիզակետը՝ (1, 0) կետում։
Քննարկում.
(h, k) գագաթնակետ ունեցող ուղղահայաց պարաբոլայի համար ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – h)^2 = 4p (y – k) \]
Տրված է (h, k) = (1, -2) գագաթնակետը, մենք պետք է գտնենք p-ի արժեքը։ Պարաբոլայի կիզակետը (h, k + p) է, և խնդրից կիզակետը (1, 0) է։
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Այսպիսով,
\[ p = 2 \]
Այսպիսով, ընդհանուր հավասարումը կդառնա՝
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8 (y + 2) \]
Այսպիսով, պարաբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 1)^2 = 8 (y + 2) \]
Օրինակ հարց 4. Էլիպս
Հարց՝
Տրված է էլիպս, որի կենտրոնը գտնվում է (0, 0) կետում, մեծ առանցքի երկարությունը՝ 10, իսկ փոքր առանցքը՝ 6։ Որոշեք էլիպսի հավասարումը։
Քննարկում.
Էլիպսի կենտրոնը (h, k) հավասար է (0, 0), մեծ առանցքի երկարությունը՝ 2a = 10, այնպես որ a = 5 է, իսկ փոքր առանցքի երկարությունը՝ 2b = 6, այնպես որ b = 3 է։ (0, 0) կետում կենտրոն ունեցող էլիպսի ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է.
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Փոխարինեք a և b արժեքները՝
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Այսպիսով, էլիպսի հավասարումը հետևյալն է.
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Օրինակ հարց 5. Հիպերբոլա
Հարց՝
Տրված է հիպերբոլ, որի կենտրոնը (1, -3) է, լայնակի առանցքի երկարությունը 8 է, իսկ համակցված առանցքի երկարությունը՝ 6: Որոշեք հիպերբոլայի հավասարումը:
Քննարկում.
Կենտրոնով (h, k) և հորիզոնական լայնակի առանցքով հիպերբոլայի համար ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – h)^2}{a^2} – (y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Հիպերբոլայի կենտրոնը (h, k) (1, -3) է, լայնակի առանցքի երկարությունը 2a = 8 է, ուստի a = 4 է, իսկ համակցված առանցքի երկարությունը 2b = 6 է, ուստի b = 3 է։ Հետևաբար, հիպերբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 1)^2}{4^2} – (y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ (x – 1)^2}{16} – (y + 3)^2}{9} = 1\]
Այսպիսով, հիպերբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ (x – 1)^2}{16} – (y + 3)^2}{9} = 1\]
Եզրակացություն
Վերլուծական երկրաչափությունը հզոր մեթոդ է երկրաչափական ձևերի և կառուցվածքների վերլուծության համար՝ օգտագործելով հանրահաշվական հավասարումներ: Հասկանալով գծերի, շրջանագծերի, պարաբոլների, էլիպսների և հիպերբոլների հավասարումների հիմնական հասկացությունները՝ մենք կարող ենք հեշտությամբ լուծել երկրաչափական բազմազան խնդիրներ: Այս հոդվածը ներկայացնում է վերլուծական երկրաչափության կարևոր խնդիրների օրինակներ և քննարկումներ՝ ձեր ըմբռնումը խորացնելու համար: Լրացուցիչ գործնական խնդիրները կարող են օգնել ամրապնդել և ընդլայնել այս նյութի ձեր ըմբռնումը:
