Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են շղթայական կանոնը ածանցյալներում

Օրինակելի հարցեր և քննարկում շղթայական կանոնի վերաբերյալ ածանցյալներում

Շղթայական կանոնը դիֆերենցիալ հաշվարկի ամենահիմնարար հասկացություններից մեկն է, որն օգտագործվում է երկու կամ ավելի ֆունկցիաներից կազմված ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելու համար: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք շղթայական կանոնի հիմնական հասկացությունը, դրա օգտագործման եղանակը և դրա կիրառման օրինակներ ածանցյալների հետ կապված խնդիրներում, որոնք հաճախ են առաջանում թե՛ ավագ դպրոցում, թե՛ քոլեջում:

1. Շղթայական կանոնի ներածություն

Մինչև օրինակային խնդրին անդրադառնալը, նախ հասկանանք, թե ինչ է շղթայական կանոնը։ Շղթայական կանոնը նշում է, որ եթե մենք ունենք երկու դիֆերենցիացվող ֆունկցիաներ՝ f և g, և մենք ուզում ենք գտնել h = f(g(x)) ֆունկցիաների կազմության ածանցյալը, ապա h-ի ածանցյալը կլինի՝

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Պարզ ասած, մենք հաշվարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը g(x)-ի վրա, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով (g(x)):

2. Կոմպոզիցիայի գործառույթի ըմբռնումը

Մինչև օրինակային խնդիրներին անդրադառնալը, կարևոր է հասկանալ կազմային ֆունկցիաները։ Կոմպոզիցիոն ֆունկցիան մի ֆունկցիա է, որը ստացվում է մեկ ֆունկցիան մյուսի մեջ տեղադրելով։ Օրինակ, եթե ունենք f(x) = sin(x) և g(x) = x^2, ապա երկու ֆունկցիաների կազմությունը կլինի h(x) = f(g(x)) = sin(x^2)։

Կոմպոզիցիոն ֆունկցիաներում մենք հաճախ g(x)-ը համարում ենք «ներքին ֆունկցիա», իսկ f(x)-ը՝ «արտաքին ֆունկցիա»։ Այս օրինակում ներքին ֆունկցիան x^2 է, իսկ արտաքին ֆունկցիան՝ սինուսոիդ։

3. Օրինակելի հարցեր և քննարկում

Եկեք դիտարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ, որոնք լուծելու համար օգտագործում են շղթայի կանոնը։

Օրինակ 1:

Տրված է \(y = \cos(3x^2) \ ֆունկցիան), գտեք y-ի առաջին ածանցյալը x-ի նկատմամբ։

Քննարկում.

Նախ, մենք տարբերակում ենք ներքին և արտաքին ֆունկցիաները։ Այստեղ ներքին ֆունկցիան է՝ g(x) = 3x^2, իսկ արտաքին ֆունկցիան՝ f(g) = cos(g))։

Մենք գիտենք՝

1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)

Շղթայական կանոնով մենք ստանում ենք՝

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]

Այսպիսով, y = cos(3x^2) ֆունկցիայի ածանցյալը հետևյալն է՝

\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]

Օրինակ 2:

Գտեք h(x) = e^{5x^3 + 2x} \)-ի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.

Այստեղ ներքին ֆունկցիան է՝ g(x) = 5x^3 + 2x, իսկ արտաքին ֆունկցիան՝ f(g) = e^g։

Մենք գիտենք՝

1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)

Շղթայական կանոնով մենք ստանում ենք՝

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]

Այսպիսով, h(x) = e^{5x^3 + 2x}\) ֆունկցիայի ածանցյալը հետևյալն է՝

\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]

Օրինակ 3:

Գտեք \(y = \ln(4x^2 – 5) \) առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.

Ներքին ֆունկցիան է՝ g(x) = 4x^2 – 5), իսկ արտաքին ֆունկցիան՝ f(g) = ln(g))։

Մենք գիտենք՝

1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)

Շղթայական կանոնով մենք ստանում ենք՝

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]

Այսպիսով, y = ln(4x^2 – 5) ածանցյալը հետևյալն է՝

\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]

Օրինակ 4:

Տրված է \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \ ֆունկցիան), գտեք դրա ածանցյալը։

Քննարկում.

Ներքին ֆունկցիան է՝ g(x) = 3x^2 + 2x + 1, իսկ արտաքին ֆունկցիան՝ f(g) = g^4։

Մենք գիտենք՝

1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)

Շղթայական կանոնով մենք ստանում ենք՝

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]

Այսպիսով, y = (3x^2 + 2x + 1)^4\)-ի ածանցյալը հետևյալն է՝

\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]

4. Հատուկ դեպքեր և շղթայական կանոնների մշակում

Երբեմն շղթայի կանոնը չի սահմանափակվում միայն երկու ֆունկցիաների կազմով։ Կան դեպքեր, երբ ֆունկցիան երկուսից ավելի ֆունկցիաների կազմ է, օրինակ՝ \( h(x) = f(g(k(x))) \).

Երեք ֆունկցիաների դեպքում շղթայի կանոնը կարող է կիրառվել շերտերով.

\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]

Մենք կարող ենք տեսնել, որ յուրաքանչյուր շերտում մենք հաշվարկում ենք արտաքին շերտերի ածանցյալները, նախքան ներքին շերտերի ածանցյալներին անցնելը։

Օրինակ 5:

Տրված է \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), գտեք դրա ածանցյալը։

Քննարկում.

Ամենաներքին ֆունկցիան է՝ k = 2x^2 + 1, միջինը՝ g = ln(k) և արտաքինը՝ f = g)։

Մենք գիտենք՝

1. \(k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)

Եկեք շղթայի կանոնը կիրառենք շերտերով.

\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]

Այսպիսով, y = ln(2x^2 + 1)}-ի ածանցյալը հետևյալն է՝

\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]

5. Քեսիմպուլան

Շղթայական կանոնը կարևոր դեր է խաղում դիֆերենցիալ հաշվարկում, հատկապես ֆունկցիաների կազմության հետ գործ ունենալիս։ Շղթայական կանոնի ըմբռնումը և տիրապետումը ամուր հիմք է հանդիսանում հաշվարկի ավելի բարդ խնդիրներ լուծելու համար։ Այս հոդվածում քննարկվել են մի քանի կարևոր օրինակներ՝ ածանցյալների վրա շղթայական կանոնի կիրառման ամուր ըմբռնում ապահովելու համար։ Հուսով ենք, որ այս քննարկումը օգտակար կլինի ուսանողների համար և կարող է կիրառվել մաթեմատիկական բազմազան մարտահրավերային իրավիճակներում։