7 példa a perdületproblémákra
Szögletes momentum
1. Egy tárgynak van tehetetlenségi nyomaték 2 kg m²2 és egy rögzített tengely körül forog szögsebesség 1 rad/s. Mennyi? impulzusmomentum azt a tárgyat?
Vita
Köztudott, hogy:
Tehetetlenségi nyomaték (I) = 2 kg m2
Szögsebesség (ω) = 1 rad/s
Kérdezte: Szögmomentum (L)
Válasz:
Perdület képlete:
L = Iω
Leírás: L = impulzusmomentum (kg m2/s), I = tehetetlenségi nyomaték (kg m2), ω = szögsebesség (rad/s)
Szögmomentum:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. Egy tömör tárcsás szíjtárcsa tömege 2 kg, sugara 0,1 méter. Ha a szíjtárcsa állandó, 2 rad/másodperc szögsebességgel forog a tengelye körül, mekkora a szíjtárcsa impulzusmomentuma?
Vita
Köztudott, hogy:
A tömör tárcsa tömege (m) = 2 kilogramm
A tömör tárcsás szíjtárcsa sugara (r) = 0,1 méter
Szögsebesség (ω) = 2 radián/másodperc
Kérdezte: A szíjtárcsa impulzusmomentuma
Válasz:
A szilárd korong tehetetlenségi nyomatékának képlete, ha a képen látható módon forog a tengelye körül:
I = 1/2 óra2
Leírás: I = tehetetlenségi nyomaték (kg m2), m = tömeg (kg), r = sugár (méter)
Egy szilárd korong tehetetlenségi nyomatéka:
Én = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Szögmomentum:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. Egy 2 kg tömegű és 0,2 méter sugarú tömör golyó 4 rad/s szögsebességgel forog a tengelye körül. Határozza meg a tömör golyó impulzusmomentumát!
Vita
Köztudott, hogy:
Egy tömör golyó tömege (m) = 2 kilogramm
Egy tömör gömb sugara (r) = 0,2 méter
Szögsebesség (ω) = 4 radián/másodperc
Kérdezte: Egy szilárd gömb impulzusmomentuma
Válasz:
A tömör golyó tehetetlenségi nyomatékának képlete, ha a képen látható tengely körül forog:
I = (2/5) úr2
Leírás: I = tehetetlenségi nyomaték (kg m2), m = tömeg (kg), r = sugár (méter)
Egy szilárd gömb tehetetlenségi nyomatéka:
Én = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m2
Szilárd gömb impulzusmomentuma:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. Egy 1 kg tömegű test állandó, 2 rad/s szögsebességgel mozog egy körben. Határozza meg a perdületet, ha a részecske pályasugara 10 cm!
Vita
Köztudott, hogy:
A tárgy tömege (m) = 1 kilogramm
Egy tömör gömb sugara (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 méter
Szögsebesség (ω) = 2 radián/másodperc
Kérdezte: Szögmomentum
Válasz:
A részecske tehetetlenségi nyomatékának képlete:
Én = Úr2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Szögmomentum:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye
5. Egy homogén, szilárd hengeres korong kezdetben 5 rad/s szögsebességgel forog a tengelye körül. A korong síkja párhuzamos a vízszintes síkkal. A korong tömege és sugara 2 kg és 0,2 méter. Ha egy 0,1 kg tömegű és 0,2 méter sugarú gyűrűt helyezünk a korong tetejére úgy, hogy a gyűrű középpontja közvetlenül a korong középpontja felett legyen, akkor a korong és a gyűrű együtt forog… szögsebességgel.
Vita
Köztudott, hogy:
Szilárd henger tömege (m1) = 2 kilogramm
Egy tömör henger sugara (r1) = 0,2 méter
Egy szilárd henger szögsebessége (ω1) = 5 rad/s
Gyűrű tömege (m2) = 0,1 kilogramm
Gyűrű sugara (r)2) = 0,2 méter
Kérdezte: Hengerek és gyűrűk szögsebessége
Válasz:
Tömör henger tehetetlenségi nyomatéka: I = 1⁄2 m1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
A gyűrű tehetetlenségi nyomatéka: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
Egy tömör henger és gyűrű tehetetlenségi nyomatéka (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
Kezdeti impulzusmomentum (L1) = Végső impulzusmomentum (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω)2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2 : 0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. Egy balett-táncos 150 cm hosszúra kinyújtott karokkal, 10 radián/másodperc szögsebességgel pörög. Ezután a táncos 75 cm hosszúra összefonja a karjait a könyökénél. Mekkora a végső szögsebesség?
Vita
Köztudott, hogy:
1. sugár (r1) = 150 cm = 1,5 méter
2. sugár (r2) = 75 cm = 0,75 méter
Szögsebesség 1 (ω1) = 10 rad/s
Kérdezte: Szögsebesség 2 (ω2)
Válasz:
Kezdeti tehetetlenségi nyomaték: I1 = Úr12 = (m)(1,5)2 = 2,25 m
Végső tehetetlenségi nyomaték: I2 = Úr22 = (m)(0,75)2 = 0,5625 m
Kezdeti impulzusmomentum (L1) = Végső impulzusmomentum (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω)2)
22,5 m = (0,5625 m)(ω)2)
22,5 = (0,5625)(ω)2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. Egy homogén, szilárd hengeres korong kezdetben 4 rad/s szögsebességgel forog a tengelye körül.-1A korong tömege és sugara 1 kg és 0,5 m. Ha egy 0,2 kg tömegű és 0,1 m sugarú gyűrűt helyezünk a korong tetejére, és a gyűrű középpontja pontosan a tömör hengeres korong középpontja felett van, akkor a tömör hengeres korong és a gyűrű együtt forog szögsebességgel...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s
Vita :
Tehetetlenségi nyomaték tömör henger: I = ½ mr2 = ½ (1 kg) (0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
A gyűrű tehetetlenségi nyomatéka: I = mr2 = (0,2 kg)(0,1 m²)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
Kezdeti szögimpulzus (L1) = Végső szögimpulzus (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,125 kg m2)(4 rad/s) = (0,125 kg m2 + 0,002 kg m2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω2)
ω2 = 0,5 : 0,127
ω2 = 4 rad / s
A helyes válasz a D.
