Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Vektè Twa Dimansyon nan Sistèm Kowòdone Kartezyen an
Vektè twa dimansyon yo se yon konsèp enpòtan nan matematik ak fizik, souvan itilize pou reprezante objè oswa fenomèn nan espas twa dimansyon. Nan sistèm kowòdone Kartezyen an, vektè sa yo reprezante pa twa konpozan, anjeneral yo deziyen kòm \( (x, y, z) \). Atik sa a pral diskite plizyè pwoblèm egzanp ak solisyon ki gen rapò ak vektè twa dimansyon nan sistèm kowòdone Kartezyen an.
Konprann Vektè Twa Dimansyon yo
Yon vektè nan yon espas twa dimansyon kapab eksprime kòm \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), kote:
– \(A_x\) se konpozan vektè a sou aks x la.
– \(A_y\) se konpozan vektè a sou aks y la.
– \(A_z\) se konpozan vektè a sou aks z la.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Kesyon 1: Operasyon Adisyon Vektè
Etandone de vektè, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) ak \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). Kalkile sòm de vektè sa yo.
Diskisyon:
Adisyon de vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) fèt lè yo ajoute konpozan korespondan yo. Kidonk, nou genyen:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Ranplase valè vektè yo bay yo:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Kidonk, rezilta adisyon vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) yo se \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).
Kesyon 2: Operasyon Soustraksyon Vektè
Etandone de vektè, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) ak \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Kalkile soustraksyon de vektè sa yo, sètadi \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
Diskisyon:
Soustraksyon de vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) fèt lè nou soustrè konpozan korespondan yo. Kidonk, nou genyen:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Ranplase valè vektè yo bay yo:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Kidonk, rezilta soustrè vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) yo se \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).
Kesyon 3: Operasyon Miltiplikasyon Eskalè
Etandone yon vektè \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) ak yon eskalè \(k = 4\). Kalkile pwodui eskalè vektè sa yo.
Diskisyon:
Miltipliye yon eskalè \(k\) pa yon vektè \(\mathbf{A}\) fèt lè nou miltipliye chak konpozan vektè a pa eskalè sa a. Kidonk, nou genyen:
\[
E = k ⋅ A = k ⋅ (A_x, A_y, A_z) = (k ⋅ A_x, k ⋅ A_y, k ⋅ A_z)
\]
Ranplase valè yo bay yo:
\[
E = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Kidonk, rezilta miltipliye eskalè a \(k\) pa vektè a \(\mathbf{A}\) se \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).
Kesyon 4: Longè vektè
Kalkile longè (magnitud) vektè a \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
Diskisyon:
Longè oubyen mayitid yon vektè \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ka kalkile avèk fòmil sa a:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Ranplase valè yo bay yo:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Kidonk, longè vektè \(\mathbf{A}\) a se 3.
Kesyon 5: Pwodui Eskalè
Etandone de vektè, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) ak \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). Kalkile pwodwi eskalè de vektè sa yo.
Diskisyon:
Pwodui eskalè de vektè \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ak \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) fèt lè nou miltipliye konpozan korespondan yo epi answit nou ajoute yo. Kidonk, nou genyen:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Ranplase valè yo bay yo:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Kidonk, pwodwi eskalè vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) yo se -2.
Kesyon 6: Pwodui kwaze
Etandone de vektè, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) ak \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). Kalkile pwodui vektè de vektè sa yo.
Diskisyon:
Pwodui vektè de vektè \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ak \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) fèt lè l sèvi avèk fòmil sa a:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Ranplase valè yo bay yo:
\[
A × B = ((2 = 6 – 3 = 5), (3 = 4 – 1 = 6), (1 = 5 – 2 = 4)) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Kidonk, pwodui vektè \(\mathbf{A}\) ak \(\mathbf{B}\) yo se \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
Konklizyon
Vektè twa dimansyon nan sistèm kowòdone Kartezyen an se zouti esansyèl nan divès domèn syans ak jeni. Atravè egzanp ak diskisyon ki anwo yo, nou te wè kijan pou fè divès operasyon debaz sou vektè, tankou adisyon, soustraksyon, miltiplikasyon eskalè, ak pwodwi pwen ak kwa. Yon bon konpreyansyon sou konsèp sa yo pral gen anpil valè non sèlman nan matematik men tou nan aplikasyon pratik nan fizik, jeni ak syans enfòmatik.
