Egzanp Kesyon ki Diskite sou Vektè Bidimansyonèl nan yon Sistèm Kowòdone
Yon vektè se yon kantite ki gen tou de mayitid ak direksyon. Vektè yo souvan itilize nan divès sijè matematik ak fizik pou reprezante divès fenomèn. Nan atik sa a, nou pral diskite sou egzanp vektè bidimensyonèl nan yon sistèm kowòdone.
Konsèp debaz vektè nan sistèm kowòdone
Yon vektè nan yon sistèm kowòdone bidimensyonèl ka reprezante kòm \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), kote \(a_1\) se konpozan x vektè a epi \(a_2\) se konpozan y vektè a. Vektè a ka dekonpoze an de konpozan, sètadi konpozan x la ak konpozan y la.
Adisyon ak Soustraksyon Vektè
Adisyon de vektè \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ak \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) se:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Pandan ke rediksyon an se:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Miltiplikasyon Eskalè
Si \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) epi \(k\) se yon eskalè, alò \(k\vec{A}\) se:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Mayitid Vektè
Magnitud oubyen longè vektè a \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) se:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Vektè Inite
Yon vektè inite se yon vektè ki gen yon longè yon inite. Vektè inite \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) a se:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Kesyon 1: Adisyon ak Soustraksyon Vektè
Yo bay de vektè jan sa a: \(\vec{A} = (3, 4)\) ak \(\vec{B} = (1, 2)\). Jwenn pwodwi \(\vec{A} + \vec{B}\) ak \(\vec{A} – \vec{B}\).
Diskisyon:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Kesyon 2: Miltiplikasyon Eskalè
Etandone vektè \(\vec{C} = (2, -3)\), kalkile \(3\vec{C}\) ak \(-2\vec{C}\).
Diskisyon:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Kesyon 3: Mayitid Vektè
Kalkile mayitid vektè a \(\vec{D} = (5, 12)\).
Diskisyon:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Kesyon 4: Vektè Inite
Jwenn vektè inite vektè a \(\vec{E} = (4, 3)\).
Diskisyon:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Kesyon 5: Pozisyon ak Distans Vektè yo
De pwen nan plan kowòdone bidimansyonèl la se P(2, 3) ak Q(5, 7). Detèmine vektè pozisyon ki soti nan pwen P rive nan pwen Q ak distans ki genyen ant yo.
Diskisyon:
Vektè pozisyon an soti nan P pou rive nan Q se:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Distans ki genyen ant pwen P ak Q se:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Kesyon 6: Rezilta pwodwi eskalè
Si \(\vec{F} = (-3, 4)\) ak \(\vec{G} = (2, 1)\), kalkile pwodui eskalè \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) la.
Diskisyon:
Pwodwi eskalè de vektè yo se:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Kesyon 7: Ang Ant De Vektè
Si \(\vec{H} = (7, -4)\) ak \(\vec{I} = (3, 0)\), detèmine ang ki genyen ant de vektè yo.
Diskisyon:
Pou detèmine ang ki genyen ant de vektè, nou itilize fòmil sa a:
\[
\cos θ = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Premyèman, kalkile pwodwi eskalè a \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Apre sa, kalkile mayitid \(\vec{H}\) ak \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Antre valè sa yo nan fòmil la:
\[
∑costheta = ∑frac{21}{\sqrt{65} ∑3} = ∑frac{21}{3\sqrt{65}} = ∑frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Kidonk, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Kesyon 8: Pwojeksyon Vektè
Pou vektè yo \(\vec{J} = (2, 1)\) ak \(\vec{K} = (-1, 3)\), kalkile pwojeksyon \(\vec{J}\) sou \(\vec{K}\).
Diskisyon:
Pwojeksyon \(\vec{J}\) sou \(\vec{K}\) se:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Premyèman, kalkile pwodwi eskalè a \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Lè sa a, mayitid \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Kidonk,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Antre nan fòmil la:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Men kèk egzanp pwoblèm ak diskisyon ki gen rapò ak vektè bidimensyonèl nan yon sistèm kowòdone. Yon bon konpreyansyon sou vektè ka itil nan anpil aplikasyon nan matematik, fizik ak jeni. Pratike ak divès egzanp ka apwofondi konpreyansyon ou sou konsèp sa a, sa ki pèmèt ou aplike li efektivman nan yon varyete sitiyasyon.
