Egzanp yon kesyon diskisyon sou derive yon fonksyon aljebrik
Derivasyon nan kalkil se yon konsèp fondamantal yo itilize pou dekri kijan yon fonksyon chanje, oubyen pant yon fonksyon nan yon pwen. Derivasyon yo itil nan plizyè domèn tankou fizik, ekonomi ak enjenyè paske yo bay enfòmasyon sou vitès chanjman an. Nan atik sa a, nou pral diskite plizyè egzanp derivasyon fonksyon aljebrik ak kijan pou rezoud yo.
Egzanp 1: Derivatif Fonksyon Polinòm
Kesyon: Etandone fonksyon \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Detèmine derive fonksyon an!
Solisyon:
Lè nou itilize règ debaz derivasyon pou fonksyon polinòm yo, sètadi \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), nou pral kalkile derivasyon chak tèm fonksyon an youn pa youn.
\[
\begin{aliyman }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{aliyman }
\]
Kidonk, derive \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) a se \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Egzanp 2: Derivatif yon Fonksyon ak Eksponan Fraksyonèl
Kesyon: Detèmine derive fonksyon \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Solisyon:
Lè nou itilize menm règ derivasyon an, sa vle di \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{aliyman }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{aliyman }
\]
Kidonk, derive \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) a se \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Egzanp 3: Derivatif Fonksyon Eksponansyèl ak Trigonometrik
Kesyon: Detèmine derive fonksyon an \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Solisyon:
Pou rezoud derive sa a, nou bezwen Règ Pwodui a, ki deklare \((uv)' = u'v + uv'\). Sipoze \( u(x) = e^x \) ak \( v(x) = \sin(x) \), alò:
\[
\begin{aliyman }
u'(x) &= e^x, & \text{paske derive } e^x \text{ se } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{paske derive } \sin(x) \text{ la se } \cos(x).
\end{aliyman }
\]
Lè w ap itilize règ derive a pou pwodwi yo:
\[
\begin{aliyman }
h'(x) &= (e^x ∫ sin(x))' \\
&= e^x ∫(sin(x))' + sin(x) ∫(e^x)'
&= e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
& = e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{aliyman }
\]
Kidonk, derive \( h(x) = e^x \sin(x) \) a se \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Egzanp 4: Derivatif yon Fonksyon Lè l sèvi avèk Règ Chèn nan
Kesyon: Detèmine derive fonksyon an \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Solisyon:
Pou rezoud derive sa a, nou bezwen règ chèn lan, sètadi \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Sipoze \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) ak \( f(u) = u^5 \), alò:
\[
\begin{aliyman }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{konsa} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{aliyman }
\]
Lè w ap itilize règ chèn lan:
\[
\begin{aliyman }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{aliyman }
\]
Kidonk, derive \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5\) a se \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1)\).
Egzanp 5: Derivatif yon Fonksyon ak Idantite Trigonometrik
Kesyon: Detèmine derive fonksyon an \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Solisyon:
Nou pral itilize règ derivatif la pou pwodwi yo. Sipoze \( u(x) = \sin(x) \) ak \( v(x) = \cos(x) \), alò:
\[
\begin{aliyman }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) & = -\sin(x).
\end{aliyman }
\]
Lè w ap itilize règ derive a pou pwodwi yo:
\[
\begin{aliyman }
m'(x) &= (sin(x) ⋅ cos(x))'
&= (\sin(x))' \cos(x) + \sin(x) \cos(x))' \\
&= ∫cos(x) ∫cos(x) + ∫sin(x) ∫(-∫sin(x))
& = ∫cos^2(x) – ∫sin^2(x).
\end{aliyman }
\]
Lè nou itilize idantite trigonometrik la \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Kidonk, derive \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) a se \( m'(x) = \cos(2x) \).
Konklizyon
Derivasyon yon fonksyon aljebrik se yon konsèp fondamantal nan kalkil ki trè enpòtan e itil nan plizyè aplikasyon. Plizyè règ derivasyon, tankou règ derivasyon debaz la, règ pwodwi a, règ chèn lan, ak règ pou derivasyon trigonometrik, tout ede nan kalkile derivasyon fonksyon ki pi konplèks yo. Lè nou konprann egzanp ki anwo yo epi nou pratike pwoblèm yo, nou ka amelyore konpreyansyon ak konpetans nou nan pran derivasyon fonksyon aljebrik yo.
