Egzanp Kesyon ki Diskite Adisyon Vektè pa Konpozan
Adisyon vektè se yon pwosedi fondamantal nan fizik ak matematik ki itilize pou jwenn rezilta de oswa plis vektè. Apwòch pa konpozan pou rezoud adisyon vektè a se yon metòd patikilyèman itil, sitou lè w ap travay ak vektè nan de oswa twa dimansyon. Atik sa a pral eksplike konsèp adisyon vektè pa konpozan epi bay plizyè egzanp pwoblèm ak solisyon.
Konsèp Adisyon Vektè Konpozansyèl la
Chak vektè nan yon espas bidimensyonèl (2D) ka divize an de konpozan: yon konpozan x (orizontal) ak yon konpozan y (vètikal). Nan twa dimansyon (3D), vektè yo gen yon konpozan anplis, konpozan z (pwofondè).
Ann sipoze nou gen de vektè A ak B. Konpozan vektè sa yo ka eksprime jan sa a:
– Vektè A gen konpozan \(A_x\) ak \(A_y\) an 2D (oswa tou \(A_z\) an 3D).
– Vektè B gen konpozan \(B_x\) ak \(B_y\) an 2D (oswa tou \(B_z\) an 3D).
Adisyon de vektè sa yo ap pwodui yon vektè R ki gen konpozan sa yo:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[R_y = A_y + B_y \]
Pou vektè an 3D, konpozan z la se tou jan sa a:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Apre nou fin kalkile chak konpozan nan vektè rezilta a, nou ka jwenn modil (magnitud) ak direksyon vektè rezilta a lè nou itilize fòmil sa a:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (pou 2D)
Oubyen pou 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Epi direksyon vektè ki rezilta a ka detèmine pa ang lan ak aks kowòdone yo.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Kesyon 1
Etandone de vektè nan yon plan bidimensyonèl:
– A se \(5 \, \text{unit}\) nan direksyon lès.
– B se \(3 \, \text{unit}\) nan nò.
Detèmine vektè reziltan R la.
Pembahasan
Premyèman, nou konvèti vektè a an konpozan respektif li yo.
– Vektè A : \(A = (5, 0)\) paske li sèlman gen yon konpozan x.
– Vektè B : \(B = (0, 3)\) paske li sèlman gen yon konpozan y.
Men sòm konpozan yo:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Lè sa a, vektè rezilta R a se:
\[R = (5, 3) \]
Pou kalkile longè (modil) vektè R a:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \anviwon 5.83 \]
Yo ka kalkile direksyon vektè R a lè yo itilize ang θ a ak aks x la:
tan(θ) = ∫_{R_y}{R_x} = ∫_{3}{5}
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \anviwon 30.96^\circ \]
Kidonk, vektè R ki rezilta a gen yon longè anviwon 5.83 inite epi li fòme yon ang 30.96° ak aks x la.
Kesyon 2
Bay de vektè nan twa dimansyon:
– A se \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B se \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Detèmine vektè reziltan R la.
Pembahasan
Premyèman, nou idantifye konpozan chak vektè:
– Vektè A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vektè B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Men sòm konpozan yo:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Lè sa a, vektè rezilta R a se:
\[R = (4, 6, 3)\]
Pou kalkile longè (modil) vektè R a:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \anviwon 7.81 \]
Yo ka kalkile direksyon vektè R a parapò ak aks x, y, ak z yo lè l sèvi avèk kosinis direktè a:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \anviwon 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \anviwon 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \anviwon 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \anviwon 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \anviwon 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \anviwon 67.64^\circ \]
Kidonk, vektè R ki rezilta a gen yon longè anviwon 7.81 inite epi direksyon li yo parapò ak aks x, y, ak z yo se 59.50°, 39.50°, ak 67.64°.
Kesyon 3
Bay de vektè:
– P gen yon mayitid 4 inite epi li fòme yon ang 45° ak aks x pozitif la.
– Q gen yon mayitid 6 inite epi li fòme yon ang 120° ak aks x pozitif la.
Detèmine vektè reziltan R la.
Pembahasan
Premyèman, nou divize vektè a an konpozan x ak y li yo:
– Vektè P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \anviwon 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \anviwon 2.83\).
– Vektè Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Men sòm konpozan yo:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Lè sa a, vektè rezilta R a se:
\[R = (-0.17, 8.03) \]
Pou kalkile longè (modil) vektè R a:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \anviwon 8.03 \]
Direksyon vektè R a:
tan(θ) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24
\[ \theta = \arctan(-47.24) \apeprè -88.99^\circ \]
Sepandan, yo mezire ang sa a alantou aks x negatif la, kidonk ang reyèl la nan kontèks pwoblèm nan se:
\[ 180^\sik – 88.99^\sik \anviwon 91.01^\sik \]
Kidonk, vektè R ki rezilta a gen yon longè anviwon 8.03 inite epi li fòme yon ang 91.01° ak aks x pozitif la.
Atik sa a diskite sou adisyon vektè pa konpozan, li bay plizyè egzanp pwoblèm ak solisyon. Metòd pa konpozan an trè itil pou senplifye kalkil yo epi li bay yon fason sistematik pou rezoud pwoblèm vektè nan dimansyon matematik espas la.
