Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Konsèp Derivatif Fonksyon yo
Derivasyon yon fonksyon se yon konsèp fondamantal nan kalkil ki gen aplikasyon laj nan divès disiplin, tankou fizik, ekonomi ak jeni. Atik sa a pral kouvri plizyè pwoblèm egzanp epi diskite konsèp derivasyon yon fonksyon pou bay yon konpreyansyon pi pwofon sou sijè sa a.
Definisyon debaz sou dérivés
Anvan nou antre nan kesyon egzanp yo, li ta bon pou nou fè yon ti revizyon sou definisyon ak prensip debaz derivasyon yo. Derivasyon yon fonksyon \( f(x) \) nan pwen \( x = a \) a se:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Fonksyon \( f'(x) \) a rele fonksyon derive \( f(x) \).
Egzanp Kesyon 1: Derivatif Polinòm Debaz
Kesyon:
Jwenn premye derive fonksyon an \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Diskisyon:
Sèvi ak règ derive debaz la \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Pou \( 3x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Pou \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Pou \( 2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Pou \(-7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Kidonk:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Egzanp Kesyon 2: Derivatif Fonksyon Trigonometrik yo
Kesyon:
Jwenn premye derive fonksyon an \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Diskisyon:
Sèvi ak règ pwodui a \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) avèk \( u(x) = \sin(x) \) ak \( v(x) = \cos(x) \).
1. Derive \( \sin(x) \) a se \( \cos(x) \), kidonk \( u'(x) = \cos(x) \).
2. Derive \( \cos(x) \) a se \( -\sin(x) \), kidonk \( v'(x) = -\sin(x) \).
Sibstitisyon \( u'(x) \) ak \( v'(x) \):
g'(x) = cos(x) cos(x) + sin(x) (-sin(x))
g'(x) = cos²(x) – sin²(x)
Rezilta final la:
g'(x) = cos²(x) – sin²(x)
Egzanp 3: Derivatif Fonksyon Eksponansyèl
Kesyon:
Jwenn premye derive fonksyon an \( h(x) = e^{2x} \).
Diskisyon:
Sèvi ak règ derive fonksyon eksponansyèl la \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) avèk \( k = 2 \).
h'(x) = d/dx e^2x
h'(x) = 2 \cdot e^{2x}
Rezilta final la:
h'(x) = 2e^{2x}
Egzanp Kesyon 4: Derivatif Fonksyon Logaritmik
Kesyon:
Jwenn premye derive fonksyon an \( p(x) = \ln(3x + 1) \).
Diskisyon:
Sèvi ak règ derive fonksyon logaritmik la \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) avèk \( u(x) = 3x + 1 \).
1. Jwenn derive entèn lan \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Sèvi ak règ derivatif logaritmik la:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Rezilta final la:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Egzanp Kesyon 5: Aplikasyon Derivasyon - Maksimòm ak Minimòm
Kesyon:
Jwenn valè maksimòm ak minimòm fonksyon \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) sou entèval \( x \in [-2, 2] \) la.
Diskisyon:
1. Jwenn premye derive \( q(x) \):
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
q'(x) = -6x^2 + 6x + 12
2. Jwenn pwen estasyonè yo lè w rezoud \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Pwen estasyonè yo se \( x = 2 \) ak \( x = -1 \).
3. Evalye \( q(x) \) nan pwen kritik yo ak limit entèval yo:
q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Evalyasyon rezilta yo:
– Valè maksimòm nan rive nan \( x = 2 \) ak \( q(2) = 15 \).
– Valè minimòm lan rive nan \( x = -1 \) ak \( q(-1) = -12 \).
Penutup
Yon konpreyansyon apwofondi sou konsèp derivasyon yon fonksyon enpòtan anpil nan plizyè domèn syantifik. Espere ke egzanp pwoblèm ak diskisyon ki anwo yo ap ede w apwofondi konpreyansyon w sou konsèp la. Nan pratik, souvan nou bezwen konbine plizyè règ ak teyorèm pou rezoud pwoblèm ki pi konplèks. Bon aprantisaj!
