Egzanp Kesyon Diskisyon sou Sòm Riemann
Pendahuluan
Sòm Riemann nan se yon konsèp fondamantal nan kalkil ki itilize pou defini entegral definitif yon fonksyon. Metòd sa a itilize divizyon entèval ak sòm sifas rektang yo pou apwoksime entegral la. Atik sa a pral diskite an pwofondè konsèp sòm Riemann nan, ki gen ladan egzanp ak diskisyon pou fasilite konpreyansyon.
Konsèp debaz sòm Riemannian an
Anvan nou diskite egzanp yo, li enpòtan pou nou konprann konsèp debaz sòm Riemannyen yo. Nou ka divize sòm Riemannyen yo an twa kalite prensipal:
1. Sòm Riemann agoch
2. Sòm Riemann adwat
3. Sòm Riemann nan pwen mitan an
Metòd sa a divize entèval fonksyon an pou entegre an plizyè ti sou-entèval ki gen menm longè. Chak sou-entèval sa yo itilize pou fòme yon rektang ki gen wotè detèmine pa valè fonksyon an nan yon pwen patikilye nan sou-entèval la (agoch, adwat, oswa sant).
Fòmil Jeneral pou Sòm Riemann
Ann sipoze nou vle entegre fonksyon \( f(x) \) soti nan \( a \) rive nan \( b \). Nou divize entèval \( [a, b] \) a an \( n \) sou-entèval egal ki gen longè \( \Delta x = \frac{ba}{n} \). Sòm Riemann yo pou twa kalite ki mansyone pi wo yo ka ekri jan sa a:
1. Riemann agoch:
L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx
2. Riemann adwat:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]
3. Mwayen Riemann:
\[ M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Delta x \]
Ki kote:
– \( \Delta x \) se lajè chak sou-entèval.
– \(x_i \) se pwen depa i-yèm sou-entèval la pou sòm Riemann agoch la.
– \(x_i \) se pwen final i-yèm sou-entèval la pou sòm Riemann adwat la.
– \( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \) se pwen milye i-yèm sou-entèval la pou sòm Riemann mitan an.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Ann diskite sou pwoblèm egzanp pou chak kalite sòm Riemann pou nou ka pi byen konprann.
Egzanp 1: Sòm Riemann agoch
Kalkile sòm Riemann agoch la pou \( f(x) = x^2 \) sou entèval \([0, 2] \) a avèk \( n = 4 \).
Diskisyon:
1. Lajè sou-entèval (Δx):
Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5
2. Pwen Divizyon Entèval (agoch):
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5 \]
3. Valè Fonksyon an nan Pwen Divizyon an:
\[ f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0 \]
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
4. Sòm Riemann agoch (Ln):
L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx = (0) ≤ 0.5 + (0.25) ≤ 0.5 + (1) ≤ 0.5 + (2.25) ≤ 0.5
\[ L_n = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 \]
\[ L_n = 1.75 \]
Egzanp 2: Sòm Riemann adwat
Kalkile sòm Riemann ki kòrèk la pou \( f(x) = x^2 \) sou entèval \([0, 2]\) la avèk \( n = 4 \).
Diskisyon:
1. Lajè sou-entèval (Δx):
Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5
2. Pwen Divizyon Entèval (adwat):
\[ x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0 \]
3. Valè Fonksyon an nan Pwen Divizyon an:
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
\[ f(x_4) = f(2.0) = (2.0)^2 = 4 \]
4. Sòm Riemann adwat (Rn):
R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) Δx = (0.25) ≤ 0.5 + (1) ≤ 0.5 + (2.25) ≤ 0.5 + (4) ≤ 0.5
\[ R_n = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 \]
\[R_n = 3.75 \]
Egzanp 3: Sòm Riemann Mwayen
Kalkile sòm Riemann mitan an pou \( f(x) = x^2 \) sou entèval \([0, 2]\) la avèk \( n = 4 \).
Diskisyon:
1. Lajè sou-entèval (Δx):
Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5
2. Pwen mitan sou-entèval la:
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, \text{ ak } x_{n-1}=2.0 \]
Pwen mitan sou-entèval la:
\[tm_0 = \left(\frac{0 + 0.5}{2}\right)=0.25 \]
\[tm_1 = \left(\frac{0.5 + 1.0}{2}\right)=0.75 \]
\[tm_2 = \left(\frac{1.0 + 1.5}{2}\right)=1.25 \]
\[tm_3 = \left(\frac{1.5 + 2.0}{2}\right)=1.75 \]
3. Valè Fonksyon nan Pwen Milye:
\[ f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625 \]
\[ f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625 \]
\[ f(1.25) = (1.25)^2 = 1.5625 \]
\[ f(1.75) = (1.75)^2 = 3.0625 \]
4. Sòm Riemann Santral (Mn):
M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(tm_i) Δx = (0.0625) ≤ 0.5 + (0.5625) ≤ 0.5 + (1.5625) ≤ 0.5 + (3.0625) ≤ 0.5
M_n = 0.03125 + 0.28125 + 0.78125 + 1.53125
\[M_n = 2.625\]
Konklizyon
Atik sa a diskite kijan pou kalkile sòm Riemann agoch, adwat ak mitan yo, ansanm ak egzanp detaye. Metòd sòm Riemann lan bay yon fason efikas pou apwoksime entegral yon fonksyon lè w divize entèval li an ti sou-entèval epi w kalkile sifas total chak sou-entèval. Yon bon konpreyansyon sou sòm Riemann lan esansyèl pou moun k ap etidye kalkil oswa k ap travay avèk fonksyon konplèks nan divès domèn syantifik.
