Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Entegral Defini
Entegral definitif la se yon konsèp kle nan kalkil, souvan itilize pou jwenn sifas ki anba yon koub, kalkile volim objè konplèks, ak pou anpil lòt aplikasyon nan jeni ak fizik. Diskite sou entegral definitif la non sèlman bay yon konpreyansyon debaz sou konsèp sa a, men tou li ranfòse konpetans analiz matematik nou yo. Atik sa a gen pou objaktif pou bay egzanp pwoblèm entegral definitif ansanm ak diskisyon detaye.
Konsèp debaz entegral defini
Anvan nou antre nan pwoblèm egzanp yo, an nou revize kèk konsèp debaz sou entegral definitif yo. Entegral definitif la, ki deziyen pa \(\int_a^bf(x) \, dx\), reprezante sifas ki anba koub fonksyon \(f(x)\) la soti nan pwen \(x = a\) rive nan pwen \(x = b\).
Matematikman, entegral definitif ki soti nan \(a\) rive nan \(b\) fonksyon \(f(x)\) la kapab eksprime kòm:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
kote \(F(x)\) se antiderivatif \(f(x)\).
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Ann gade kèk egzanp pwoblèm entegral definitif ak diskisyon sou yo.
Egzanp Kesyon 1
Kesyon:
Kalkile entegral definitif fonksyon \(f(x) = 2x\) a soti \(x = 1\) pou rive \(x = 3\).
Diskisyon:
Pou rezoud entegral sa a, nou dwe premye jwenn antiderivatif \(f(x) = 2x\).
Antiderivatif \(2x\) la se:
F(x) = x^2 + C
Sepandan, nan entegral definitif nou pa bezwen konstan entegrasyon an \(C\).
Kounye a, sèvi ak limit entegral yo pou kalkile:
\[ \int_1^3 2x \, dx = F(3) – F(1) \]
Kalkile valè \(F(x)\) sou limit sa yo:
F(3) = 3^2 = 9
F(1) = 1^2 = 1
Se konsa,
\[ \int_1^3 2x \, dx = 9 – 1 = 8 \]
Egzanp Kesyon 2
Kesyon:
Kalkile entegral definitif fonksyon \(f(x) = x^2 + 1\) soti nan \(x = 0\) rive nan \(x = 2\).
Diskisyon:
Jwenn antiderivatif \(f(x) = x^2 + 1\).
Antiderivatif \(x^2\) a se:
\[ \frak{1}{3}x^3 \]
Antiderivatif \(1\) la se \(x\).
Kidonk, antiderivatif \(f(x)\) a se:
F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x
Kounye a, sèvi ak limit entegral yo pou kalkile:
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = F(2) – F(0) \]
Kalkile valè \(F(x)\) sou limit sa yo:
F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}
F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0
Se konsa,
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \frac{14}{3} – 0 = \frac{14}{3} \]
Egzanp Kesyon 3
Kesyon:
Kalkile entegral definitif fonksyon \(f(x) = e^x\) a soti \(x = 1\) pou rive \(x = 2\).
Diskisyon:
Jwenn antiderivatif \(f(x) = e^x\).
Antiderivatif \(e^x\) a se \(e^x\).
Kounye a, sèvi ak limit entegral yo pou kalkile:
\[ \int_1^2 e^x \, dx = F(2) – F(1) \]
Kalkile valè \(F(x)\) sou limit sa yo:
\[ F(2) = e^2 \]
F(1) = e^1 = e
Se konsa,
\[ \int_1^2 e^x \, dx = e^2 – e \]
Egzanp Kesyon 4
Kesyon:
Kalkile entegral definitif fonksyon \(f(x) = \sin(x)\) a soti nan \(x = 0\) pou rive nan \(x = \pi\).
Diskisyon:
Jwenn antiderivatif \(f(x) = \sin(x)\).
Antiderivatif \(\sin(x)\) a se \(-\cos(x)\).
Kounye a, sèvi ak limit entegral yo pou kalkile:
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = F(\pi) – F(0) \]
Kalkile valè \(F(x)\) sou limit sa yo:
\[ F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \]
F(0) = -cos(0) = -1
Se konsa,
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 \]
Egzanp Kesyon 5
Kesyon:
Kalkile entegral definitif fonksyon \(f(x) = \frac{1}{x}\) soti nan \(x = 1\) rive nan \(x = e\).
Diskisyon:
Jwenn antiderivatif \(f(x) = \frac{1}{x}\) la.
Antiderivatif \(\frac{1}{x}\) a se \(\ln|x|\).
Kounye a, sèvi ak limit entegral yo pou kalkile:
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) – F(1) \]
Kalkile valè \(F(x)\) sou limit sa yo:
F(e) = ln(e) = 1
\[ F(1) = \ln(1) = 0 \]
Se konsa,
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 – 0 = 1 \]
Konklizyon
Atravè egzanp ki anwo yo, nou te pratike jwenn entegral definitif pou plizyè fonksyon elemantè. Nan chak etap, li enpòtan pou premye jwenn antiderivatif la epi answit itilize limit entegral la pou jwenn valè final la.
Entegral defini yo jwe yon wòl vital nan plizyè domèn etid ak aplikasyon pratik. Konprann konsèp sa a epi pratike avèk plizyè egzanp ap ranfòse konpetans matematik ou anpil.
