Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Distribisyon Binòm
Distribisyon binomyal la se youn nan distribisyon pwobabilite disrè ki pi souvan itilize yo. Li itil pou modle kantite siksè atravè yon kantite esè idantik ak endepandan, chak nan yo pwodui swa yon siksè oswa yon echèk. Nan atik sa a, nou pral fouye pi fon nan distribisyon binomyal la lè nou bay plizyè egzanp ak yon diskisyon detaye.
Entwodiksyon nan Distribisyon Binòm
Karakteristik prensipal distribisyon binomyal:
1. n : Kantite esè oswa repetisyon.
2. p : Pwobabilite pou reyisi nan chak esè.
3. q = 1-p : Pwobabilite pou echèk nan chak esè.
Fonksyon mas pwobabilite distribisyon binomyal la se:
\[ P(X = k) = {n \chwazi k} p^k (1-p)^{nk} \]
Ki kote:
– \( {n \chwazi k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Yon varyab o aza ki reprezante kantite siksè yo.
– \(k \): Kantite siksè yo t ap chèche a.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Ann kòmanse ak kèk egzanp pwoblèm pou nou ka konprann konsèp distribisyon binomyal la pi byen.
Egzanp 1: Chwazi nan yon gwoup elèv
Pa egzanp, ann sipoze nou gen yon gwoup 10 elèv, epi pwobabilite pou chak elèv chwazi pou patisipe nan yon konpetisyon se 0,3. Nou vle konnen pwobabilite pou egzakteman 4 elèv chwazi.
Etap 1: Idantifye paramèt distribisyon binomyal la.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Etap 2: Sèvi ak distribisyon binomyal la pou kalkile pwobabilite \( X = 4 \).
P(X = 4) = {10 \chwazi 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Kalkile \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Kounye a kalkile \( (0.3)^4 \) ak \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Se konsa,
P(X = 4) = 210 ≤ 0.0081 ≥ 0.117649 ≤ 0.20012
Kidonk, pwobabilite pou egzakteman 4 elèv yo chwazi se apeprè 0.20012 oswa 20.012%.
Egzanp 2: Pwobabilite mwens pase oswa egal a 2
Kounye a, pa egzanp, yo mande nou sou pwobabilite pou yo chwazi mwens pase 2 elèv oswa egal a 2.
Etap 1: Nou dwe kalkile \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ak \( P(X = 2) \).
– Pou \(P(X = 0) \):
P(X = 0) = {10 \chwazi 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \chwazi 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
P(X = 0) = 1 1 0.0282475 = 0.0282475
– Pou \(P(X = 1) \):
P(X = 1) = {10 \chwazi 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \chwazi 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
P(X = 1) = 10 0.3 0.1210608 = 0.3631824
– Pou \(P(X = 2) \):
P(X = 2) = {10 \chwazi 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \chwazi 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
P(X = 2) = 45 0.09 0.2334744 = 0.2334744
Dezyèm etap: Adisyone pwobabilite yo.
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
Kidonk, pwobabilite pou yo chwazi mwens pase 2 elèv oswa egal a se apeprè 0.7740671 oswa 77.41%.
Egzanp 3: Pwobabilite pou omwen 8
Si yo fè yon eksperyans 12 fwa, epi pwobabilite pou reyisi nan chak esè a se 0.5, ki pwobabilite ki genyen pou omwen 8 siksè rive?
Etap 1: Fikse paramèt binomyal yo: \(n = 12, p = 0.5 \).
Etap 2: Jwenn pwobabilite pou \(X \geq 8 \).
Sa mande pou kalkile plizyè pwobabilite endividyèl epi adisyone yo ansanm:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Konte youn pa youn:
– Pou \(P(X = 8) \):
P(X = 8) = {12 \chwazi 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \chwazi 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
P(X = 8) = 495 0.0002441406 = 0.1208496
– Pou \(P(X = 9) \):
P(X = 9) = {12 \chwazi 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \chwazi 9} = 220 \]
P(X = 9) = 220 0.0002441406 = 0.05371094
– Pou \(P(X = 10) \):
P(X = 10) = {12 \chwazi 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \chwazi 10} = 66 \]
P(X = 10) = 66 0.0002441406 = 0.01611328
– Pou \(P(X = 11) \):
P(X = 11) = {12 \chwazi 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \chwazi 11} = 12 \]
P(X = 11) = 12 0.0002441406 = 0.002929688
– Pou \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \chwazi 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \chwazi 12} = 1 \]
P(X = 12) = 1 0.0002441406 = 0.0002441406
Etap 3: Adisyone tout pwobabilite yo.
P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \anviwon 0.1938477
Kidonk, pwobabilite pou omwen 8 siksè rive nan 12 esè se apeprè 0.1938477 oswa 19.38%.
Konklizyon
Distribisyon binomyal la se yon konsèp fondamantal nan estatistik ki enpòtan nan anpil aplikasyon pratik. Lè nou konprann kijan pou kalkile pwobabilite pou divès ka distribisyon binomyal la, jan egzanp ki anwo yo montre sa, nou ka aplike konsèp sa a nan sitiyasyon reyèl. Egzèsis sa a ranfòse tou konpreyansyon nou sou kijan estrikti pwobabilite yo fonksyone nan yon kontèks klè ak òganize.
