Egzanp Kesyon ki Diskite Seri Aritmetik
Sekans aritmetik se yon konsèp fondamantal nan matematik ki parèt souvan nan divès pwoblèm, ni nan lekòl segondè ni nan edikasyon siperyè. Konsèp sa a enplike yon sekans nimewo kote chak tèm se rezilta adisyon oswa soustrè yon nimewo konstan nan tèm anvan an. Nan atik sa a, nou pral diskite sou plizyè pwoblèm egzanp ak solisyon yo pou nou ka pi byen konprann konsèp sekans aritmetik yo.
Konprann Seri Aritmetik yo
Yon seri aritmetik se yon seri ki gen yon diferans konstan ant de tèm youn apre lòt. Pa egzanp, si yon seri aritmetik gen premye tèm nan \(a\) ak diferans nan \(d\), alò tèm yo ka ekri jan sa a:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Si nou vle jwenn nyèm tèm nan seri sa a, fòmil pou nyèm tèm nan (\(U_n\)) se:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Pandanstan, nou ka kalkile sòm premye n tèm yon seri aritmetik (\(S_n\)) lè l sèvi avèk fòmil sa a:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp Kesyon 1
Kesyon: Etandone yon seri aritmetik ki gen premye tèm nan \(a = 5\) ak diferans komen an \(d = 3\). Jwenn 10yèm tèm nan seri a.
Diskisyon:
Pou jwenn 10yèm tèm nan (\(U_{10}\)), nou ka itilize fòmil nyèm tèm nan:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Kidonk, 10yèm tèm nan seri a se 32.
Egzanp Kesyon 2
Kesyon: Jwenn sòm 15 premye tèm yo nan seri aritmetik ki gen premye tèm nan \(a = 4\) epi diferans komen nan \(d = 7\).
Diskisyon:
Pou jwenn sòm 15 premye tèm yo (\(S_{15}\)), nou ka itilize fòmil la pou sòm n premye tèm yo:
\[ S_{15} = \fra{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Kidonk, sòm 15 premye tèm seri a se 795.
Egzanp Kesyon 3
Kesyon: Li konnen ke 5yèm tèm nan yon seri aritmetik se 20 epi 12yèm tèm nan se 48. Jwenn premye tèm nan (\(a\)) ak diferans komen an (\(d\)) nan seri a.
Diskisyon:
Apati kondisyon yo bay yo:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Nou gen de ekwasyon lineyè ak de varyab ke nou ka rezoud:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Apati ekwasyon 1 an, nou ka eksprime \(a\) an fonksyon de \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Kounye a, nou ranplase \(a\) nan ekwasyon 2 a:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Kounye a, nou ranplase valè \(d\) la nan ekwasyon \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Kidonk, premye tèm nan seri a se 4 epi diferans komen an se 4.
Egzanp Kesyon 4
Kesyon: Konbyen tèm ki nesesè pou yon seri aritmetik ki gen premye tèm \(a = 2\) ak diferans komen \(d = 5\) pou rive nan 200?
Diskisyon:
Nan ka sa a, nou bezwen jwenn sòm premye n tèm yo (\(S_n\)) ki egal a 200. Sèvi ak fòmil la pou sòm premye n tèm yo:
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200
Ranplase valè \(a\) ak \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400 \]
Sa a se yon ekwasyon kwadratik. Pou rezoud li, nou chanje fòm li:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Sèvi ak fòmil kwadratik la \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Nan ka sa a \(a = 5\), \(b = -1\), ak \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Valè \(\sqrt{8001}\) a pre 89.42, alò:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Nou pran valè pozitif yo:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \apeprè \frac{90.42}{10} \]
\[ n \anviwon 9.042 \]
Kidonk, kantite tèm ki nesesè yo se 9 tèm (si yo awondi).
Konklizyon
Sekans aritmetik yo se yon sijè enpòtan nan matematik. Yon konpreyansyon apwofondi sou premye tèm nan, diferans komen an, nyèm tèm nan, ak sòm premye n tèm yo gen anpil valè pou rezoud yon pakèt pwoblèm. Lè nou sèvi ak egzanp ak diskisyon ki anwo yo, nou espere ke lektè yo ap gen yon pi bon konpreyansyon sou konsèp debaz sekans aritmetik yo.
