Egzanp Kesyon ki Diskite Seri Jewometrik
Sekans jewometrik yo se yon konsèp fondamantal nan matematik ke yo souvan anseye nan lekòl segondè. Sekans sa yo konsiste de yon seri nimewo, chak nan yo se pwodwi nimewo anvan an pa yon konstan ke yo rekonèt kòm yon "rapò". Atik sa a pral kouvri plizyè pwoblèm egzanp ak diskisyon sou sekans jewometrik, nan espwa ede lektè yo pi byen konprann konsèp sa a.
Konprann Seri Jewometrik yo
Yon sekans jewometrik se yon sekans nimewo ki fòme lè yo miltipliye yon premye nimewo (a) pa yon rapò fiks (r). An jeneral, fòm jeneral yon sekans jewometrik se:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Men:
– "a" se premye tèm nan sekans lan.
– “r” se rapò yon tèm ak tèm anvan an.
– "n" se n-yèm tèm nan sekans lan.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Ann diskite kèk pwoblèm egzanp pou nou ka konprann plis sou sekans jewometrik yo.
Egzanp Kesyon 1
Kesyon:
Etandone yon sekans jewometrik ak premye tèm nan (a) ki se 3 epi rapò a (r) ki se 2. Detèmine:
1. 5yèm tèm sekans lan.
2. Sòm 6 premye tèm sekans lan.
Diskisyon:
1. Yo ka kalkile 5yèm tèm nan (U5) lè yo itilize fòmil pou nyèm tèm nan yon sekans jewometrik, sètadi:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Ranplase a = 3, r = 2, ak n = 5 nan fòmil la:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Kidonk, 5yèm tèm sekans lan se 48.
2. Yo ka kalkile sòm 6 premye tèm yo (S6) nan yon sekans jewometrik lè l sèvi avèk fòmil pou sòm n premye tèm yo, sètadi:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Ranplase a = 3, r = 2, ak n = 6 nan fòmil la:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \goch (63 \dwat) \]
\[ S_6 = 189 \]
Kidonk, sòm 6 premye tèm sekans lan se 189.
Egzanp Kesyon 2
Kesyon:
Yon sekans jewometrik gen yon 3yèm tèm ki egal a 27 ak yon 5yèm tèm ki egal a 243. Detèmine valè premye tèm nan (a) ak rapò a (r).
Diskisyon:
Etandone U3 = 27 ak U5 = 243. Lè nou itilize fòmil pou nyèm tèm nan yon sekans jewometrik:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Pou U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Pou U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Konpare ekwasyon (1) ak (2) pou elimine yon:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ oubyen } r = -3 \]
Ranplase valè r nan ekwasyon (1):
Si (r = 3):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = yon \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Si (r = -3):
\[ 27 = yon \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = yon \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Kidonk, premye tèm nan (a) se 3, epi rapò a (r) kapab 3 oubyen -3.
Egzanp Kesyon 3
Kesyon:
Jwenn sòm enfini seri jewometrik sa yo si premye tèm nan (a) se 8 epi rapò a (r) se 1/2.
Diskisyon:
Yo ka kalkile sòm enfini yon seri jewometrik lè l sèvi avèk fòmil sa a:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Ranplase a = 8 ak r = 1/2 nan fòmil la:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
S_{\infty} = 8 \times 2
\[ S_{\infty} = 16 \]
Kidonk, sòm enfini seri jewometrik la se 16.
Egzanp Kesyon 4
Kesyon:
Yon sekans jewometrik gen yon 2èm tèm ki egal a 12 ak yon 4èm tèm ki egal a 108. Detèmine rapò a ak premye tèm sekans lan.
Diskisyon:
Etandone \( U_2 = 12 \) ak \( U_4 = 108 \). Lè nou itilize fòmil pou nyèm tèm nan yon sekans jewometrik:
Pou \(U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = yon \cdot r \] \[ (1) \]
Pou \(U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Konpare ekwasyon (1) ak (2) pou elimine yon:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ oubyen } r = -3 \]
Ranplase valè r nan ekwasyon (1):
Si (r = 3):
\[ 12 = yon \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Si (r = -3):
\[ 12 = yon \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Kidonk, premye tèm nan (a) kapab 4 oubyen -4, epi rapò a (r) kapab 3 oubyen -3.
Konklizyon
Sekans jewometrik yo se yon konsèp matematik enpòtan ki souvan itilize nan divès domèn. Lè nou konprann baz yo epi nou pratike ladrès rezoud pwoblèm, nou ka espere vin pi konpetan nan konprann epi aplike konsèp la. Atik sa a gen ladan plizyè egzanp pwoblèm ak diskisyon pou ede lektè yo aprann epi konprann sekans jewometrik pi pwofondman. Nou espere sa itil!
