Materijal za Bernoullijev princip i jednadžbu
Kad vozimo motocikl prilično brzo, odjeća koju nosimo napuhne se straga. Ako još ne znate voziti motocikl, obratite pozornost na svoje roditelje ili prijatelje koji voze motocikle. Stražnja strana njihove odjeće obično se napuhne straga kada motocikl ide brzo. Ponekad, kada vjetar puše jako, vrata kuće mogu se sama zatvoriti. Čak i ako vjetar puše izvan kuće, dok su vrata unutar kuće.
To se može objasniti Bernoullijevim principom. Daniel Bernoulli (1700. – 1782.) otkrio je princip koji se može koristiti za objašnjenje nekih od gore navedenih stvari.
Bernoullijev princip
Bernoullijev princip kaže da tamo gdje je brzina protoka fluida velika, tlak fluida je nizak. Suprotno tome, ako je brzina protoka fluida niska, tlak postaje visok. Kada se motocikl kreće brzo, brzina zraka ispred i pored vašeg tijela je visoka. Stoga tlak zraka postaje nizak. Stražnji dio vašeg tijela blokiran je prednjim dijelom vašeg tijela, tako da se brzina zraka iza vašeg tijela ne mijenja u visoku (odmah iza vašeg tijela). Kao rezultat toga, tlak zraka iza vašeg tijela postaje veći. Budući da postoji razlika u tlaku zraka, gdje je tlak zraka odmah iza vašeg tijela veći, zrak gura vašu majicu unatrag, zbog čega izgleda kao da je napuhana straga.
Što je s vratima koja se sama zatvaraju kada vani puše jak vjetar? Vanjski zrak se kreće brže od zraka unutra. Kao rezultat toga, tlak zraka vani je niži od tlaka zraka unutra. Zbog te razlike tlaka, gdje je tlak zraka unutra viši, vrata se guraju prema van. Drugim riječima, vrata se pomiču s mjesta višeg tlaka zraka na mjesto nižeg tlaka zraka.
Bernoullijeva jednadžba
Prethodno smo učili o Bernoullijevom principu. Bernoulli je također kvantitativno razvio ovaj princip. Za izvođenje Bernoullijeve jednadžbe pretpostavljamo stacionaran, laminaran tok fluida, nestlačivost i nisku viskoznost, što se može zanemariti.
U raspravi o jednadžbi kontinuiteta, naučili smo da se brzina protoka fluida također može mijenjati ovisno o površini presjeka cijevi za protok. Na temelju Bernoullijevog principa objašnjenog gore, tlak fluida također se može mijenjati ovisno o brzini protoka fluida. Tlak fluida također se može mijenjati ovisno o visini fluida. Odnos između tlaka, brzine protoka i visine protoka može se dobiti iz Bernoullijeve jednadžbe.
Bernoullijeva jednadžba je vrlo važna jer se može koristiti za analizu leta zrakoplova, hidroelektrana, cjevovodnih sustava itd. Da bi se Bernoullijeva jednadžba koju ćemo izvesti općenito primjenjivala, pretpostavit ćemo da fluid teče kroz protočnu cijev s nejednakim površinama poprečnog presjeka i različitim visinama (vidi sliku ispod). Za izvođenje Bernoullijeve jednadžbe primjenjujemo teorem o radu i energiji na fluid u području protočne cijevi. Zatim ćemo izračunati količinu fluida i rad izvršen za pomicanje fluida.
Neprozirna boja u cijevi za protok na slici označava protok tekućine, dok bijela boja označava da tekućine nema.
Tekućina u presjeku 1 (lijeva strana) teče za udaljenost L1 i prisiljava tekućinu u presjeku 2 (desna strana) da se pomakne za udaljenost L2 . Budući da je presjek 2 na desnoj strani manji, brzina protoka tekućine na desnoj strani cijevi za protok je veća (sjetimo se jednadžbe kontinuiteta). To uzrokuje razliku tlaka između presjeka 2 (desna strana cijevi za protok) i presjeka 1 (lijeva strana cijevi za protok) - sjetimo se Bernoullijevog principa. Tekućina na lijevoj strani presjeka 1 vrši tlak P1 na tekućinu na desnoj strani i obavlja rad od:
Tada se jednadžba W1 može napisati kao:
W1 = p1A1L1
U presjeku 2 (desna strana cijevi za protok), rad izvršen na fluidu je:
W² = −p²A²L²
Negativni predznak označava da je primijenjena sila suprotna smjeru gibanja. Dakle, fluid vrši rad desno od presjeka 2. Osim toga, sila gravitacije također vrši rad na fluid. U gornjem slučaju, određena masa fluida se pomiče iz presjeka 1 do L1 u presjek 2 do L2 , gdje je volumen fluida u presjeku 1 (A1L1 ) = volumen fluida u presjeku 2 (A2L2 ) . Rad koji obavlja gravitacija je:
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Negativni predznak je posljedica kretanja fluida prema gore, suprotno od smjera gravitacije. Dakle, ukupni rad obavljen na fluidu, kao što je prikazano na gornjoj slici, iznosi:
Š = Š1 + Š2 + Š3
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
Teorem o radu i energiji kaže da je ukupni rad obavljen na sustavu jednak promjeni njegove kinetičke energije. Stoga možemo zamijeniti Rad (W) promjenom kinetičke energije (EK² - EK¹ ).
Gornju jednadžbu možemo prepisati kao:
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Masa fluida koji teče na udaljenosti L1 u presjeku A1 = masa fluida koji teče na udaljenosti L2 ( presjek A2 ) . Masa fluida, recimo m, ima volumen A1 L1 i A2 L2 gdje je A1 L1 = A2 L2 ( L2 je dulji od L1 ).
Sada supstituiramo, odnosno zamjenjujemo m u gornjoj jednadžbi s m = ρ AL:
Ovo je Bernoullijeva jednadžba. Bernoullijevu jednadžbu izveli smo na temelju principa rada i energije, pa je to oblik zakona o očuvanju energije.
Informacije:
P = Tlak
ρ = Gustoća fluida
v = Brzina protoka fluida
g = Ubrzanje zbog gravitacije
h = Visina protočne cijevi/cijevi od površine tla
Lijeva i desna strana Bernoullijeve jednadžbe mogu se odnositi na bilo koje dvije točke duž cijevi za protok, tako da gornju jednadžbu možemo prepisati kao:
Ova jednadžba navodi da ukupni zbroj količina u jednadžbi ima istu vrijednost kroz cijelu protočnu cijev.
Sada pregledajmo Bernoullijevu jednadžbu za neke slučajeve.
Bernoullijeva jednadžba za fluide u mirovanju
Poseban slučaj Bernoullijeve jednadžbe su fluidi u mirovanju (statički fluidi). Kada fluid miruje, nema brzinu. Dakle, v1 = v2 = 0. U slučaju fluida u mirovanju, Bernoullijeva jednadžba može se formulirati kao:
Ako je h² - h¹ = h, tada se ova jednadžba može napisati kao:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullijeva jednadžba za protočne cijevi ili cijevi iste visine
Ako je visina protočne cijevi ili cijevi ista, tada se Bernoullijeva jednadžba mijenja u:
