Materijal za jednadžbu kontinuiteta
Pokušajte polako otvoriti slavinu za vodu promatrajući protok vode koji izlazi iz slavine. Nakon što se slavina prestane okretati, djelomično je blokirajte rukom. Sada usporedite koji je protok vode veći. Kada je djelomično blokiran ili odblokiran? Ako imate crijevo koje se obično koristi za zalijevanje cvijeća, pustite vodu da teče kroz njega. Djelomično blokirajte crijevo rukom ili prstom. Što je veći dio crijeva blokiran, voda će brže teći. Suprotno tome, ako crijevo nije blokirano, voda će teći sporije. Zašto je to tako? Da biste to razumjeli, proučite jednadžbu kontinuiteta.
Strujnice i protočne cijevi
Prvo, shvatimo koncepte strujnica i protočnih cijevi. Ovaj koncept je važan jer će vam pomoći da shvatite jednadžbu kontinuiteta.
Linija struje
Pogledajte sliku ispod, plava linija je strujnica.
U stacionarnom toku, brzina svake čestice fluida u točki, recimo točki A, ostaje konstantna. Kako prolazi pored točke B, brzina čestica fluida može se mijenjati. Međutim, po dolasku u točku B, čestice fluida koje slijede nastavljaju teći istom brzinom kao i čestice fluida koje su im prethodile. Isto vrijedi i pri dolasku u točku C i tako dalje. Linija struje je krivulja koja spaja točke A, B i C.
Protočna cijev
U osnovi, možemo nacrtati svaku liniju strujnice kroz svaku točku u toku fluida. Ako uzmemo u obzir stacionarni tok fluida, niz linija strujnice koje prolaze pod određenim kutom na zamišljenoj površini (zamišljena površina) tvore cijev za protok. Nijedna čestica fluida se ne siječe, već su uvijek paralelne, a cijev za protok će nalikovati cijevi koja uvijek ima isti oblik. Fluid koji ulazi na jednom kraju cijevi izlazit će iz cijevi na drugom kraju.
Zaduženje
Protok označava volumen fluida koji protječe kroz određeni presjek u određenom vremenskom intervalu. Matematički se može izraziti na sljedeći način:
Kako bismo vam bolje razumjeli, upotrijebimo primjer. Pretpostavimo da tekućina teče kroz cijev. Cijevi su obično cilindrične i imaju određenu površinu poprečnog presjeka. Cijev također ima duljinu.
Kada fluid teče u cijevi do L, tada je volumen fluida u cijevi V = AL (V = volumen fluida, A = površina poprečnog presjeka i L = duljina cijevi). Budući da se tijekom strujanja u cijevi duž L fluid kreće određeni vremenski interval, tada možemo reći da je veličina ispuštanja fluida:
Budući da je v = s/t = L/t —> L = vt, gornja jednadžba se mijenja u:
Dakle, kada fluid teče kroz cijev određene površine presjeka i duljine tijekom određenog vremenskog intervala, veličina ispuštanja fluida (Q) jednaka je površini presjeka (A) pomnoženoj s brzinom protoka fluida (v).
Jednadžba kontinuiteta
Razmotrite protok fluida u cijevi različitih promjera, kao što je prikazano na slici ispod.
Ova slika prikazuje tok fluida s lijeva na desno (fluid teče iz cijevi velikog promjera u cijev malog promjera). Isprekidane linije predstavljaju strujnice.
Opis slike: A 1 = površina poprečnog presjeka cijevi velikog promjera, A 2 = površina poprečnog presjeka cijevi malog promjera, v 1 = brzina protoka fluida u dijelu cijevi velikog promjera, v 2 = brzina protoka fluida u dijelu cijevi malog promjera, L = udaljenost koju je fluid prešao.
U uvodu u dinamiku fluida objašnjeno je da se u dinamici fluida raspravlja o toku fluida koji su nestlačivi, neviskozni, neturbulentni i stacionarni. U stacionarnom toku, brzina čestica fluida u nekoj točki jednaka je brzini drugih čestica fluida koje prolaze kroz tu točku. Tokovi fluida se također ne sijeku (strujnice su paralelne). Stoga, masa fluida koji ulazi u jedan kraj cijevi mora biti jednaka masi fluida koji izlazi iz drugog kraja. Ako fluid određene mase uđe u cijev velikog promjera, tada će fluid izaći iz cijevi malog promjera s konstantnom masom.
Sada pogledajte sliku cijevi iznad. Pogledajte dio cijevi s velikim promjerom i dio cijevi s malim promjerom.
Tijekom određenog vremenskog intervala, određena količina fluida protječe kroz dio cijevi velikog promjera (A).1) što se tiče L1 (L1 = v1 t). Volumen fluida koji teče je V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Tijekom istog vremenskog intervala, druga količina fluida protječe kroz dio cijevi manjeg promjera (A).2) što se tiče L2 (L2 = v2 t). Volumen fluida koji teče je V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Jednadžba kontinuiteta za nestlačive fluide (nestišljiv)
Prvo, razmotrimo slučaj nestlačive tekućine. U nestlačivoj tekućini, gustoća ili masa tekućine je uvijek ista u svakoj točki kroz koju prolazi. Masa tekućine koja teče kroz cijev s površinom presjeka A1 ( veći promjer cijevi) tijekom određenog vremenskog intervala je:
Slično tome, masa fluida koja teče u cijevi s površinom poprečnog presjeka A² ( mali promjer cijevi) tijekom određenog vremenskog intervala je:
Uzimajući u obzir da je pri ustaljenom toku masa fluida koji ulazi jednaka masi fluida koji izlazi, tada:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (gustoća fluida i vremenski interval su isti pa se poništavaju)
A1 v1 = A2 v 2
Dakle, u nestlačivim fluidima vrijedi jednadžba kontinuiteta:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Jednadžba 1
Informacije:
A 1 = površina presjeka 1, A 2 = površina presjeka 2, v 1 = brzina protoka fluida u presjeku 1, v 2 = brzina protoka fluida u presjeku 2, A v = volumni protok V/t, tj. ispust
Jednadžba 1 pokazuje da je volumni protok, također poznat kao ispuštanje, uvijek isti u svakoj točki duž cijevi ili protočne cijevi. Kako se presjek cijevi smanjuje, protok fluida se povećava; obrnuto, kako se presjek cijevi povećava, protok fluida se smanjuje.
Kada djelomično zatvorimo slavinu, protok vode postaje brži nego kada je slavina djelomično zatvorena. To je zato što se površina presjeka slavine smanjuje kada je slavina djelomično zatvorena, što povećava brzinu protoka vode (tekućina teče brže). Isto vrijedi i za crijeva. Međutim, važno je napomenuti da protok ili volumetrijski protok ostaje isti na svim točkama duž toka vode, bez obzira je li slavina djelomično zatvorena ili ne. Dakle, ono što se mijenja jest brzina protoka tekućine.
Što je s protokom vode u rijeci? Dublji dijelovi rijeke imaju veći presjek od plićih dijelova, pa je brzina protoka vode u dubljim dijelovima niža nego u plićim dijelovima. Ako vidite vrlo miran riječni tok, to znači da je rijeka duboka. Ali ako rijeka odjednom postane brza, taj dio je definitivno plitak. Međutim, brzina protoka volumena vode uvijek je ista, bilo u dubokim ili mirnim dijelovima rijeke.
Jednadžba kontinuiteta za stlačive fluide (stlačiv)
U slučaju stlačivih fluida , gustoća fluida nije uvijek ista. Drugim riječima, gustoća fluida se mijenja kada se komprimira. Dok se kod nestlačivih fluida gustoća fluida eliminira iz jednadžbe, u ovom slučaju gustoća fluida je i dalje uključena. Pozivajući se na prethodno izvedenu jednadžbu, izvedimo jednadžbu za stlačive fluide.
Uzimajući u obzir da je pri ustaljenom toku masa fluida koji ulazi jednaka masi fluida koji izlazi, tada:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Vremenski interval protoka fluida je isti pa se može eliminirati. Jednadžba se mijenja u:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → jednadžba 2
Ovo je jednadžba za stlačivu tekućinu. Jedina razlika leži u gustoći tekućine. Kada se tekućina komprimira, njezina gustoća se mijenja. Suprotno tome, kada je tekućina nestlačiva, njezina gustoća ostaje konstantna i može se poništiti.
Primjer pitanja 1:
Voda teče kroz cijev promjera 10 cm brzinom od 2 m/s. Koliki je protok vode?
Rasprava
Poznato je da:
Promjer cijevi = 10 cm (ovo je unutarnji promjer cijevi)
Polumjer cijevi (r) = 5 cm = 0,05 m
v vode = 2 m/s
Pitanje: Debitna kartica
Odgovor:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Primjer pitanja 2:
Vodovodna cijev promjera 20 cm spojena je na drugu cijev promjera 10 cm. Ako je brzina protoka vode u cijevi promjera 20 cm = 4 m/s, kolika je brzina protoka vode u cijevi promjera 10 cm?
Rasprava
Poznato je da:
Promjer 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/ s
Promjer 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Pitanje: v 1
Odgovor:
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/ s
