Jedinični vektori – problemi i rješenja

Jedinični vektori – problemi i rješenja

1. Objekt se giba brzinom v = (2i − 1.5j) m/s. Koliki je pomak objekta nakon 4 sekunde?

Poznato:

Horizontalna komponenta brzine (vx ₎ = 2 m/s

Vertikalna komponenta brzine (vy ₎ = 1.5 m/s

Vremenski interval (t) = 4 sekundi

Traži se: Raseljavanje

rješenje:

Rezultanta brzine (v):

Pomak:

s = vt = (2.5 m/s)(4 s)

s = 10 metra

2. Vektor F1 = 14 N i F2 _{= 10} N. Odredite rezultantni vektor ako je navedeno u R = i + j.

rješenje:

Komponente vektora:

F1x ₌ (F1 ₎ (cos60o ⁾ = (14)(0.5) = -7N (Negativno jer ova vektorska komponenta pokazuje duž negativne x osi (lijevo))

F1y ₌ (F1 ₎ (sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (Pozitivno jer ova vektorska komponenta pokazuje duž pozitivne y osi (desno))

F²x = ₁₀ N

F2y = ₀

Komponente rezultirajućih vektora:

Fx ₌ F1x + _F2x + _{F3x = -7 + 10} = 3N

F _y = F _1y + F _2y + F _3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

Rezultirajući vektor u jediničnom vektoru:

R = 3 i + 7√3 j

1. Što je jedinični vektor? OdgovoritiJedinični vektor je vektor veličine 1. Obično predstavlja smjer bez prenošenja ikakvih informacija o veličini.
2. Zašto su jedinični vektori važni u vektorskoj matematici i fizici? OdgovoritiJedinični vektori su bitni jer pružaju standardizirani način opisivanja smjerova. Mogu se skalirati za određenu veličinu kako bi se dobio vektor željene duljine u određenom smjeru.
3. Kako se iz zadanog vektora dobiva jedinični vektor? OdgovoritiJedinični vektor u smjeru danog vektora može se dobiti dijeljenjem vektora s njegovom veličinom.
4. Koji su standardni jedinični vektori u Kartezijevim koordinatama i koji su im smjerovi? OdgovoritiStandardni jedinični vektori u Kartezijevim koordinatama su i, ji k. i točke u smjeru x-osi, j točke u smjeru y-osi i k točke u smjeru z-osi.
5. Može li jedinični vektor imati komponente koje nisu 1 ili -1? OdgovoritiDa. Komponente jediničnog vektora ovise o njegovom smjeru. Samo su jedinični vektori poravnati s koordinatnim osima (kao i, j, k u Kartezijevim koordinatama) imat će komponente od 1, -1 ili 0.
6. Je li zbroj dvaju jediničnih vektora nužno jedinični vektor? OdgovoritiNe. Zbroj dvaju jediničnih vektora općenito nije jedinični vektor osim ako su dva vektora kolinearna i suprotno usmjerena.
7. Može li se jedinični vektor skalirati tako da predstavlja vektor različite veličine, ali istog smjera? OdgovoritiDa. Množenjem jediničnog vektora skalarom promijenit će se njegova veličina, a smjer će ostati isti.
8. Kolika je veličina vektorskog produkta dvaju jediničnih vektora? OdgovoritiVeličina vektorskog produkta dvaju jediničnih vektora jednaka je sinusu kuta između njih. Maksimalna vrijednost je 1 kada su vektori okomiti, a minimalna je 0 kada su vektori paralelni.
9. Zašto skalarni produkt dvaju jediničnih vektora daje kosinus kuta između njih? OdgovoritiFormula skalarnog produkta dvaju vektora dana je produktom njihovih veličina i kosinusa kuta između njih. Kada su oba vektora jedinični vektori, njihove veličine su 1, pa se skalarni produkt pojednostavljuje na kosinus kuta.

10. Kako se koncept jediničnog vektora proširuje na nekartezijeve koordinatne sustave? Odgovor : U nekartezijevim koordinatnim sustavima, poput sfernih ili cilindričnih koordinata, postoje različiti jedinični vektori koji odgovaraju svakom koordinatnom smjeru. Na primjer, u sfernim koordinatama, jedinični vektori su r (radijalni smjer), θ (smjer polarnog kuta) i φ (azimutalni smjer).