Očuvanje mehaničke energije na krivuljastim površinama – problemi i rješenja
1. Ako je brzina lopte u točki A 6 m/s, brzina lopte u točki B je √92 m/s, a ubrzanje zbog gravitacije je g = 10 m/s 2 . Kolika je visina točke B (h)?
Poznato:
Brzina kugle u točki A (vA) = 6 m/s
Brzina kugle u točki B (v B ) = √92 m/s
Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ s²
Visina A (h A ) = 5.6 metara
Visina B (h B ) = h
Traži se: Visina točke B (h)
rješenje:
Početna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija
U točki A, brzina lopte = 0, pa je kinetička energija lopte = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Lopta je na visini od 5.6 metara, tako da ima gravitacijsku potencijalnu energiju. Gravitacijska potencijalna energija : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Početna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija = 56 m + 0 = 56 m
Konačna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija
U točki B, visina kugle je h. Gravitacijska potencijalna energija: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Kinetička energija kugle: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Konačna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Princip očuvanja mehaničke energije:
Početna mehanička energija = konačna mehanička energija
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 sati + 46
56 – 46 = 10 sati
10 = 10 sati
h = 10/10
h = 1 metara
2.
Ako je početna brzina = 0, ubrzanje zbog gravitacije = 10 m/s² , kolika je onda brzina na visini B?
Poznato:
Početna brzina (v o ) = 0
Početna visina (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Konačna visina (ht ) = 0
Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 ms -2
Željena: Konačna brzina (v t )
rješenje:
Promjena kinetičke energije:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Promjena potencijalne energije:
ΔPE = mg(ht – ho ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = –400 m
Izračunajte konačnu brzinu (vt ) koristeći jednadžbu zakona očuvanja mehaničke energije :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Što se podrazumijeva pod "očuvanjem mehaničke energije"?
- Odgovor: Očuvanje mehaničke energije znači da ukupna mehanička energija (zbroj kinetičke i potencijalne energije) izoliranog sustava ostaje konstantna ako na njega djeluju samo konzervativne sile, poput gravitacije.
- Kako objekt koji se kreće po zakrivljenoj površini (poput lopte koja se kotrlja niz zakrivljenu rampu) čuva svoju mehaničku energiju?
- Odgovor: Kako se objekt kreće niz zakrivljenu površinu, potencijalna energija se pretvara u kinetičku energiju, ali ukupna mehanička energija ostaje konstantna, pod pretpostavkom da ne djeluju nekonzervativne sile (poput trenja).
- Ako se lopta pusti iz mirovanja na vrhu zakrivljene rampe, kako se mijenja njezina kinetička energija dok se kreće niz rampu?
- Odgovor: Kinetička energija lopte se povećava kako se kreće niz rampu jer se njezina potencijalna energija smanjuje i pretvara u kinetičku energiju.
- U nedostatku trenja, kako bi se brzina lopte na dnu zakrivljenog tobogana usporedila s brzinom ravnog tobogana iste visine?
- Odgovor: Brzina lopte na dnu bila bi ista i za zakrivljeni i za ravni tobogan jer pretvorba potencijalne energije u kinetičku energiju ovisi samo o vertikalnoj visini, a ne o prijeđenom putu.
- Zašto lopta ne bi mogla dosegnuti svoju izvornu visinu kada se kotrlja uz zakrivljenu rampu nakon spuštanja s određene visine?
- Odgovor: Ako na loptu djeluju nekonzervativne sile poput trenja, one će obavljati rad protiv gibanja, pretvarajući dio mehaničke energije lopte u druge oblike, poput topline. Kao rezultat toga, lopta možda neće imati dovoljno energije da dostigne svoju izvornu visinu.
- Ako dva različito oblikovana predmeta (npr. kugla i kocka) klize niz zakrivljenu rampu s iste visine bez kotrljanja, hoće li imati istu brzinu na dnu? Zašto?
- Odgovor: Da, imat će istu brzinu na dnu. Pod pretpostavkom da nema kotrljanja i trenja, jedini faktor koji određuje njihovu brzinu je očuvanje energije na temelju početne visine, a ne njihov oblik.
- Kako zakrivljenost površine utječe na normalnu silu na objekt koji se giba po njoj?
- Odgovor: Zakrivljenost uzrokuje promjenu smjera normalne sile kako se objekt kreće. Na konkavnoj površini usmjerenoj prema gore (poput unutrašnjosti zdjele), normalna sila je veća na dnu zbog centripetalne sile potrebne za zakrivljeno gibanje. Suprotno tome, na konveksnoj površini, normalna sila može se smanjiti ili čak postati nula (objekt napušta površinu) u najvišoj točki.
- Kakvu ulogu igra polumjer zakrivljenosti u očuvanju mehaničke energije na zakrivljenoj površini?
- Odgovor: Sam polumjer zakrivljenosti ne utječe izravno na očuvanje mehaničke energije. Međutim, može utjecati na normalnu silu i, ako postoji trenje, na količinu energije izgubljene zbog nekonzervativnih sila.
- Ako staza ima udubljenje u sredini (poput krivulje u obliku slova U), kako se mijenja mehanička energija objekta dok se kreće kroz udubljenje i uz drugu stranu?
- Odgovor: Potencijalna energija objekta smanjivat će se kako se kreće u udubinu, a povećavat će se njegova kinetička energija. Kako se kreće uz drugu stranu, njegova kinetička energija će se smanjivati, a potencijalna energija povećavati. Ako djeluju samo konzervativne sile, ukupna mehanička energija ostaje konstantna tijekom cijelog gibanja.
- Može li objekt imati i translacijsku i rotacijsku kinetičku energiju kada se kreće po zakrivljenoj površini?
- Odgovor: Da, ako se objekt poput lopte kotrlja (bez klizanja) po zakrivljenoj površini, imat će translacijsku kinetičku energiju zbog kretanja središta mase i rotacijsku kinetičku energiju zbog rotacije oko svoje osi.
