Materijal za množenje točaka korištenjem komponenti jediničnog vektora
Skalarni produkt možemo izravno izračunati ako znamo x, y i z komponente vektora A i B (poznati vektori).
Za izračunavanje skalarnog umnoška na ovaj način, prvo izračunavamo skalarni umnožak jediničnih vektora, nakon toga izražavamo vektore A i B u njihovim komponentama, rastavljamo umnožak i koristimo umnožak jediničnih vektora.
Jedinični vektori i , j i k su okomiti jedan na drugi, što olakšava izračune. Koristeći gore izvedenu skalarnu jednadžbu množenja ( AB = AB cos theta ), dobivamo:
i.i = j.j = k.k = (1)(1)cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Sada vektore A i B izražavamo preko njihovih komponenti, rastavljamo njihov produkt i koristimo produkt jediničnih vektora.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Jer i . i = j . j = k . k = 1 i i . j = i . k = j . k = 0, tada:
A . B = AxBx (1.) + AxBy (0.) + Ax Bz (0) +
AyBx (0.) + AyBy (1.) + AyBz (0) +
AzBx (0.) + AzBy (0.) + AzBz (1)
A. B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Na temelju rezultata ovog izračuna može se zaključiti da je skalarni produkt ili skalarni produkt dvaju vektora zbroj produkata njihovih sličnih komponenti.
Primjer pitanja 1:
Veliki vektor A Dan B su 5 i 4, kao što je prikazano na slici ispod. Kut koji formiraju je 90oPrebroji to skalarni produkt oba vektora.
Rasprava
Prije nego što izračunamo skalarni produkt vektora A i B, prvo moramo znati komponente drugog vektora.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektor A ima samo vektorske komponente na x-osi, a vektor B ima samo vektorske komponente na y-osi. Z-komponenta je nula jer su vektori A i B u xy ravnini.
Sada izračunavamo skalarni produkt između vektora A i B koristeći jednadžbu skalarnog produkta s komponentnim vektorima:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Usporedimo to s prvom metodom
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultat je isti.
Primjer pitanja 2:
Veliki vektor A Dan B su 5 i 4, kao što je prikazano na slici ispod. Izračunajte skalarni produkt oba vektora, ako je kut koji tvore 30o
Rasprava
Prije nego što izračunamo skalarni produkt vektora A i B, prvo moramo znati komponente drugog vektora.
Z-komponenta je nula jer se vektori A i B nalaze u xy ravnini.
Sada izračunavamo skalarni produkt između vektora A i B koristeći jednadžbu skalarnog produkta s komponentnim vektorima:
Usporedite s prvom metodom.
