Piv txwv cov lus nug thiab kev sib tham txog cov voj voog thiab cov tangents
Cov voj voog thiab cov tangents yog ob lub ncauj lus uas feem ntau tham txog hauv kev kawm lej, tshwj xeeb tshaj yog nyob rau theem tsev kawm ntawv theem nrab. Kev nkag siab txog lub tswv yim thiab kev siv cov tangents rau cov voj voog yog qhov tseem ceeb rau kev ua kom koj txoj kev paub txog geometry tob zuj zus. Tsab xov xwm no yuav muab cov piv txwv teeb meem thiab kev sib tham txog cov voj voog thiab tangents los muab kev nkag siab tob dua rau cov nyeem ntawv.
Kev Taw Qhia Txog Txoj Kev Xav Txog Lub Voj Voog thiab Tangents
Lub voj voog
Ib lub voj voog yog ib pawg ntawm cov ntsiab lus hauv ib lub dav hlau uas sib npaug ntawm ib qho chaw ruaj khov hu ua qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog. Qhov kev ncua deb ruaj khov no hu ua lub voj voog radius. Hauv lej, ib lub voj voog tuaj yeem txhais tau los ntawm cov qauv:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
qhov twg \((a, b)\) yog cov coordinates ntawm qhov chaw ntawm lub voj voog thiab \(r\) yog radius.
Kev sib txuas
Ib txoj kab tangent rau ib lub voj voog yog ib txoj kab uas kov lub voj voog ntawm ib qho chaw. Qhov chaw no hu ua qhov chaw tangency. Lub ntsiab lus tseem ceeb ntawm tangent yog tias nws yog perpendicular rau lub radius kos los ntawm qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog mus rau qhov chaw tangency.
Cov Lus Nug Piv Txwv thiab Kev Sib Tham
Lo lus nug 1: Txheeb xyuas qhov sib npaug ntawm kab tangent
Lo lus nug:
Muab ib lub voj voog uas muaj qhov chaw nruab nrab ntawm \((2, 3)\) thiab lub voj voog radius 5. Txheeb xyuas qhov sib npaug ntawm txoj kab tangent rau lub voj voog ntawm qhov chaw \(P\) nrog cov coordinates \((5, 7)\).
Kev Sib Tham:
Kauj Ruam 1: Xyuas kom tseeb tias qhov chaw \( P \) yeej nyob rau ntawm lub voj voog.
Yuav xyuas seb \(P (5, 7)\) puas nyob ntawm lub voj voog uas muaj qhov chaw nruab nrab \((2, 3)\) thiab lub voj voog \(5\), hloov cov kev sib koom ua ke ntawm \(P\) rau hauv kab zauv ntawm lub voj voog:
\[(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Vim tias qhov sib npaug yog qhov tseeb, qhov taw tes \(P\) nyob ntawm lub voj voog.
Kauj Ruam 2: Txheeb xyuas qhov gradient ntawm lub vojvoog uas hla dhau \( (2, 3) \) thiab \( (5, 7) \):
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Kauj Ruam 3: Qhov gradient ntawm kab tangent perpendicular rau qhov gradient ntawm lub vojvoog (qhov gradient ntawm cov khoom yog -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Kauj Ruam 4: Txheeb xyuas qhov sib npaug ntawm txoj kab tangent siv lub ntsiab lus \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Ua kom yooj yim dua:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Yog li, qhov sib npaug ntawm kab tangent yog:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Lo Lus Nug 2: Txheeb Xyuas Qhov Chaw Tangency Los Ntawm Kab Kab
Lo lus nug:
Muab ib lub voj voog nrog tus qauv \( x^2 + y^2 = 25 \) thiab ib txoj kab \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Txheeb xyuas qhov chaw ntawm tangency ntawm txoj kab thiab lub voj voog.
Kev Sib Tham:
Kauj Ruam 1: Hloov qhov sib npaug ntawm txoj kab rau hauv qhov sib npaug ntawm lub voj voog:
Kev sib npaug ntawm lub voj voog:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Hloov \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) rau hauv kab zauv voj voog:
\[ x^2 + \sab laug (\frac{3}{4} x + 2\sab xis)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16} x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Kauj Ruam 2: Ua kom yooj yim dua qhov kev sib npaug:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Kauj Ruam 3: Nrhiav cov hauv paus siv cov qauv quadratic:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Xaiv ib qho \(x\) uas siv tau raws li qhov tangency point (tsuas yog ib qho \(x\) yuav tsim tau ib qho tangency point):
\[ x = \frac{141.501}{50} \kwv yees li 2.83 \]
\[ x \kwv yees li 2.83 \]
Kauj Ruam 4: Hloov \( x \) rau hauv kab zauv kom tau \( y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \kwv yees li 2.12 + 2 \]
\[ y \kwv yees li 4.12 \]
Yog li, qhov taw tes ntawm tangency ntawm txoj kab \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) thiab lub voj voog \( x^2 + y^2 = 25 \) yog \( (2.83, 4.12) \).
Xaus
Kev paub txog cov tswv yim ntawm cov voj voog thiab cov tangents suav nrog kev nkag siab txog cov hauv paus ntawm geometry thiab lub peev xwm los daws cov teeb meem siv cov lej lej. Cov teeb meem zoo li cov saum toj no pab cov tub ntxhais kawm xyaum siv kev xav hauv cov xwm txheej tseeb dua. Yog tias xyaum tas li, cov tub ntxhais kawm yuav tsum nkag siab thiab daws cov teeb meem yooj yim dua.
