Cov Lus Nug Piv Txwv Sib Tham Txog Cov Qauv Geometric Tsis Muaj Qhov Kawg
Ib qho kev sib txuas ntawm cov lej geometric uas tsis kawg yog ib qho kev sib txuas uas muaj ntau tus lej tsis kawg hauv kev nce qib geometric. Cov kev sib txuas no muaj cov kev cai tshwj xeeb rau lawv qhov sib ntxiv (lossis qhov txwv) kom suav tau. Hauv tsab xov xwm no, peb yuav tham txog lub tswv yim yooj yim ntawm cov lej geometric uas tsis kawg, cov kev cai rau kev tsim lawv, thiab ntau qhov piv txwv teeb meem thiab lawv cov kev daws teeb meem.
Lub Tswv Yim Tseem Ceeb ntawm Infinite Geometric Series
Yeej, ib qho geometric series yog ib qho series ntawm cov lej uas txhua lo lus tom qab thawj zaug tau txais los ntawm kev sib npaug ntawm lo lus dhau los los ntawm ib qho tsis hloov pauv hu ua common ratio (r). Xav tias peb muaj ib qho geometric series:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Rau ib qho kev sib txuas ntawm cov duab geometric uas tsis kawg, peb xav txog qhov sib sau ua ke ntawm txhua nqe lus hauv cov koob. Qhov sib sau ua ke ntawm cov koob no yog txhais li:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga). Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.
Yog li ntawd, cov series yog sib txawv.
Piv txwv lus nug 5
Lo lus nug: Xav tias koj muaj cov koob tsis kawg hauv qab no:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Txheeb xyuas qhov sib ntxiv ntawm cov koob.
Kev Sib Tham:
Thawj lo lus \( a = \frac{1}{2} \)
Qhov piv \(r\) nrhiav tau los ntawm kev faib lub sij hawm thib ob los ntawm thawj lub sij hawm, uas yog:
\[ r = \frac{1}{4}\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Vim tias \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), cov koob no sib sau ua ke thiab peb tuaj yeem xam qhov sib npaug ntawm cov koob tsis kawg. Siv cov mis rau qhov sib npaug ntawm cov koob geometric tsis kawg: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Yog li, qhov sib npaug ntawm cov koob geometric tsis kawg yog 1. Xaus Lus Ib koob geometric tsis kawg yog ib lub tswv yim lej tseem ceeb uas muaj kev siv dav hauv ntau qhov chaw. Txhawm rau txiav txim siab qhov sib npaug ntawm cov koob geometric tsis kawg, peb yuav tsum xyuas kom meej tias qhov piv \( |r| < 1 \). Yog li, qhov sib npaug ntawm cov koob tuaj yeem suav tau siv cov mis yooj yim thiab ncaj nraim. Los ntawm cov teeb meem piv txwv saum toj no, peb tuaj yeem pom tias cov txheej txheem no ua rau nws yooj yim heev los daws cov teeb meem uas cuam tshuam nrog cov koob geometric tsis kawg.
