बर्नौली का सिद्धांत और समीकरण

बर्नौली का सिद्धांत और समीकरण सामग्री

जब हम मोटरसाइकिल तेज़ गति से चलाते हैं, तो हमारे कपड़े पीछे से फूल जाते हैं। अगर आप अभी मोटरसाइकिल चलाना नहीं जानते, तो अपने माता-पिता या मोटरसाइकिल चलाने वाले दोस्तों को ध्यान से देखें। तेज़ गति से मोटरसाइकिल चलाते समय उनके कपड़े अक्सर पीछे से फूल जाते हैं। कभी-कभी तेज़ हवा चलने पर घर का दरवाज़ा अपने आप बंद हो जाता है। भले ही हवा घर के बाहर से आ रही हो, दरवाज़ा घर के अंदर ही रहता है।

इसे बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करके समझाया जा सकता है। डैनियल बर्नौली (1700-1782) ने एक सिद्धांत की खोज की जिसका उपयोग ऊपर बताई गई कुछ बातों को समझाने के लिए किया जा सकता है ।

बर्नौली का सिद्धांत

बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि जहाँ द्रव का प्रवाह वेग अधिक होता है, वहाँ द्रव का दाब कम होता है। इसके विपरीत, यदि द्रव का प्रवाह वेग कम होता है, तो दाब अधिक हो जाता है। जब कोई मोटरसाइकिल तेज़ गति से चलती है, तो आपके शरीर के आगे और बगल में हवा का वेग अधिक होता है। इस प्रकार, हवा का दाब कम हो जाता है। आपके शरीर का पिछला भाग आपके शरीर के अगले भाग से ढका होता है, इसलिए आपके शरीर के पीछे (ठीक आपके शरीर के पीछे) हवा का वेग अधिक नहीं होता है। परिणामस्वरूप, आपके शरीर के पीछे हवा का दाब अधिक हो जाता है। हवा के दाब में अंतर होने के कारण, जहाँ आपके शरीर के ठीक पीछे हवा का दाब अधिक होता है, हवा आपकी कमीज़ को पीछे की ओर धकेलती है, जिससे वह पीछे से फूली हुई दिखाई देती है।

अगर बाहर तेज़ हवा चले तो दरवाज़ा अपने आप बंद हो जाए तो क्या होगा? बाहर की हवा अंदर की हवा से ज़्यादा तेज़ चलती है। नतीजतन, बाहर का वायु दाब अंदर के वायु दाब से कम होता है। इस दाब के अंतर के कारण, जहाँ अंदर का वायु दाब ज़्यादा होता है, वहाँ दरवाज़ा बाहर की ओर धकेला जाता है। दूसरे शब्दों में, दरवाज़ा ज़्यादा वायु दाब वाले स्थान से कम वायु दाब वाले स्थान की ओर खिसक जाता है।

बर्नौली का समीकरण

इससे पहले हमने बर्नौली के सिद्धांत के बारे में पढ़ा था। बर्नौली ने इस सिद्धांत को मात्रात्मक रूप से भी विकसित किया था। बर्नौली समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम स्थिर, स्तरित द्रव प्रवाह, असंपीड्यता और कम श्यानता मानते हैं, जिसे अनदेखा किया जा सकता है।

निरंतरता समीकरण की चर्चा में हमने सीखा कि द्रव प्रवाह दर प्रवाह नली के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर भी निर्भर करती है। ऊपर बताए गए बर्नौली सिद्धांत के आधार पर, द्रव दाब भी द्रव प्रवाह दर पर निर्भर करता है। द्रव दाब द्रव की ऊँचाई पर भी निर्भर करता है। दाब, प्रवाह दर और प्रवाह ऊँचाई के बीच संबंध बर्नौली समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।

बर्नौली समीकरण बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग विमान उड़ान, जलविद्युत संयंत्रों, पाइपिंग प्रणालियों आदि के विश्लेषण में किया जा सकता है। बर्नौली समीकरण को व्यापक रूप से लागू करने के लिए, हम मानेंगे कि द्रव असमान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और अलग-अलग ऊँचाई वाली प्रवाह नलिका से होकर बहता है (नीचे दिया गया चित्र देखें)। बर्नौली समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम प्रवाह नलिका क्षेत्र में द्रव पर कार्य और ऊर्जा प्रमेय लागू करते हैं। इसके बाद, हम द्रव की मात्रा और द्रव को गतिमान करने में किए गए कार्य की गणना करेंगे।

चित्र में प्रवाह नली में अपारदर्शी रंग तरल प्रवाह को दर्शाता है जबकि सफेद रंग तरल की अनुपस्थिति को दर्शाता है।

अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 (बाईं ओर) में द्रव L1 दूरी तक प्रवाहित होता है _और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 (दाईं ओर) में द्रव को L2 दूरी तक गतिमान होने के लिए विवश करता है _। क्योंकि दाईं ओर का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 छोटा है, इसलिए प्रवाह नली के दाईं ओर द्रव प्रवाह दर अधिक है (निरंतरता समीकरण याद रखें)। इससे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 (प्रवाह नली का दायां भाग) और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 (प्रवाह नली का बायां भाग) के बीच दाब अंतर उत्पन्न होता है - बर्नौली का सिद्धांत याद रखें। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 के बाईं ओर का द्रव दाईं ओर के द्रव पर P1 दाब लगाता है _और निम्न कार्य करता है:

तब समीकरण W _{1 को} इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डब्ल्यू ₁ = पी ₁ ए ₁ एल ₁

अनुप्रस्थ काट 2 (प्रवाह नली के दाहिने भाग) पर, द्रव पर किया गया कार्य है:

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लगाया गया बल गति की दिशा के विपरीत है। अतः द्रव खंड 2 के दाईं ओर कार्य करता है। इसके अतिरिक्त, गुरुत्वाकर्षण बल भी द्रव पर कार्य करता है। उपरोक्त स्थिति में, द्रव की एक निश्चित मात्रा खंड 1 से L₁ तक और खंड 2 से L₂ तक स्थानांतरित की जाती है _{, जहाँ} खंड 1 पर द्रव का आयतन (A₁L₁ ₎ खंड 2 पर द्रव के आयतन (A₂L₂) के बराबर है _{। गुरुत्वाकर्षण द्वारा} किया गया कार्य है:

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

ऋणात्मक चिह्न द्रव के ऊपर की ओर प्रवाह के कारण है, जो गुरुत्वाकर्षण की दिशा के विपरीत है। अतः, ऊपर दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार, द्रव पर किया गया कुल कार्य है:

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी प्रणाली पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। अतः, हम कार्य (W) को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन (EK ₂ ‐ EK ₁ ) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

W = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

ईके ₂ - ईके ₁ = पी ₁ ए ₁ एल ₁ - पी ₂ ए ₂ एल ₂ + एमजीएच ₁ - एमजीएच ₂

1⁄2 mv ₂ ² ‐ 1⁄2 mv ₁ ² = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

अनुप्रस्थ काट _{A1 पर L1} दूरी तक प्रवाहित होने वाले द्रव का द्रव्यमान, _{अनुप्रस्थ} काट A2 पर _L2 दूरी _तक प्रवाहित होने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है _{। मान लीजिए} , m द्रव्यमान वाले द्रव का आयतन A1L1 और A2L2 है _, जहाँ _A1L1 = A2L2 ₍ L2 , L1 _से अधिक _लंबा है ) _।

अब हम उपरोक्त समीकरण में m को m = ρ AL से प्रतिस्थापित करते हैं:

यह बर्नौली समीकरण है। हमने कार्य-ऊर्जा सिद्धांत के आधार पर बर्नौली समीकरण को व्युत्पन्न किया है, इसलिए यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक रूप है।

टिप्पणी:

P = दाब

ρ = द्रव का घनत्व

v = द्रव प्रवाह वेग

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

h = प्रवाह नली/पाइप की जमीन की सतह से ऊंचाई

ऊपर दिए गए बर्नौली समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष प्रवाह नली के अनुदिश किन्हीं दो बिंदुओं को संदर्भित कर सकते हैं, इसलिए हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

यह समीकरण बताता है कि समीकरण में दी गई राशियों का कुल योग प्रवाह नली में हर जगह एक समान होता है।

अब आइए कुछ मामलों में बर्नौली समीकरण की समीक्षा करें।

स्थिर अवस्था में तरल पदार्थों के लिए बर्नौली का समीकरण

बर्नौली समीकरण का एक विशेष मामला स्थिर द्रवों (स्थिर द्रवों) के लिए है। जब कोई द्रव स्थिर होता है, तो उसका कोई वेग नहीं होता। इस प्रकार, v ₁ = v ₂ = 0। स्थिर द्रव के मामले में, बर्नौली समीकरण को इस प्रकार सूत्रबद्ध किया जा सकता है:

यदि h ₂ ‐ h ₁ = h हो, तो इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

समान ऊँचाई वाली नलियों या पाइपों में प्रवाह के लिए बर्नौली का समीकरण

यदि प्रवाह नली या पाइप की ऊंचाई समान हो, तो बर्नौली समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है: