बर्नौली के सिद्धांत और समीकरण का अनुप्रयोग

बर्नौली के सिद्धांत और समीकरण का अनुप्रयोग

टोरिसेली का प्रमेय

बर्नौली समीकरण का एक उपयोग किसी पात्र के तल से निकलने वाले द्रव की गति की गणना करना है।

हम बर्नौली के समीकरण को बिंदु 1 (पात्र की सतह) और बिंदु 2 (छेद की सतह) पर लागू करते हैं। चूंकि पात्र के तल पर स्थित छेद का व्यास पात्र के व्यास से बहुत छोटा है, इसलिए पात्र की सतह पर द्रव का वेग शून्य माना जाता है (v ₁ = 0)। पात्र की सतह और छेद की सतह खुली हैं, जिससे दाब वायुमंडलीय दाब के बराबर होता है (P ₁ = P ₂ )। अतः, इस स्थिति के लिए बर्नौली का समीकरण इस प्रकार है:

यदि हम बर्तन के तल में स्थित छेद में तरल प्रवाह की गति की गणना करना चाहते हैं, तो यह समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

इस समीकरण के अनुसार, पात्र की सतह से h दूरी पर स्थित एक छेद से होकर बहने वाले पानी की दर, उसी दूरी पर स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पानी की दर के बराबर होती है (मुक्त पतन की तुलना करें)। इसे टोरिसेली का प्रमेय कहा जाता है । इस प्रमेय की खोज गैलीलियो के शिष्य टोरिसेली ने बर्नौली द्वारा अपने समीकरण की खोज से एक शताब्दी पहले की थी।

वेंचुरी प्रभाव 

टोरिसेली के प्रमेय के अलावा, बर्नौली समीकरण को अन्य विशेष मामलों में भी लागू किया जा सकता है, जैसे कि जब द्रव लगभग समान ऊंचाई (कम ऊंचाई अंतर) वाले पाइप खंडों में प्रवाहित होता है। इसे समझने के लिए... कलमjइसलिए, चित्र को ध्यानपूर्वक देखें। 

ऊपर दिए गए चित्र में, ऐसा प्रतीत होता है कि पाइप की ऊँचाई, चाहे उसका अनुप्रस्थ काट बड़ा हो या छोटा, लगभग समान है, इसलिए उन्हें समान ऊँचाई माना जाता है। इस स्थिति में बर्नौली का समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

जब द्रव एक छोटे अनुप्रस्थ काट वाले पाइप के एक भाग से गुजरता है (A₂), तब द्रव का वेग बढ़ जाता है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, यदि द्रव का वेग बढ़ता है, तो द्रव का दाब घट जाता है। पाइप के संकरे भाग में द्रव का दाब कम होता है, लेकिन द्रव प्रवाह दर अधिक होती है।

इसे वेंचुरी प्रभाव के नाम से जाना जाता है और यह मात्रात्मक रूप से दर्शाता है कि यदि द्रव प्रवाह दर अधिक है, तो द्रव दाब कम होगा। इसके विपरीत, यदि द्रव प्रवाह दर कम है, तो द्रव दाब अधिक होगा।

वेंटुरी मीटर

वेंचुरी प्रभाव का एक रोचक अनुप्रयोग वेंचुरी मीटर है। इस उपकरण का उपयोग तरल प्रवाह दर को मापने के लिए किया जाता है, जैसे कि पाइप के माध्यम से पानी या तेल के प्रवाह की दर की गणना करना। वेंचुरी मीटर दो प्रकार के होते हैं: एक वे जिनमें मैनोमीटर नहीं होता और दूसरे वे जिनमें पारे जैसे किसी अन्य तरल पदार्थ से भरा मैनोमीटर होता है। कार्य सिद्धांत समान है।

मैनोमीटर के बिना वेंचुरी मीटर

नीचे दी गई छवि में एक वेंचुरी मीटर दिखाया गया है जिसका उपयोग पाइप में तरल पदार्थ की प्रवाह दर को मापने के लिए किया जाता है।

जब कोई द्रव कम अनुप्रस्थ काट (A₂) वाले पाइप खंड से गुजरता है _, तो द्रव का वेग बढ़ जाता है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, यदि द्रव का वेग बढ़ता है, तो द्रव का दाब कम हो जाता है। अतः बड़े अनुप्रस्थ काट पर द्रव का दाब छोटे अनुप्रस्थ काट पर द्रव के दाब से अधिक होता है (P₁ _> P₂ ₎ । इसके विपरीत, _v₂ > _v₁

_{यहां हम बड़े अनुप्रस्थ काट (v 1} ) पर द्रव की प्रवाह दर ज्ञात करना चाहते हैं । हम समीकरण 1 में v _{2 को} समीकरण 2 में v ₂ से प्रतिस्थापित करते हैं।

किसी निश्चित गहराई पर द्रव दाब की गणना करने के लिए, निम्न समीकरण का उपयोग करें:

p = ρ gh → समीकरण a

यदि द्रवों के घनत्व में अंतर बहुत कम है, तो विभिन्न ऊंचाइयों पर दाब अंतर ज्ञात करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करें। इस प्रकार, समीकरण a को इस प्रकार बदला जा सकता है:

Δ p = ρ g Δh

उपरोक्त मामले के लिए, इस समीकरण को इस प्रकार बदला जा सकता है:

पी ₁ - पी ₂ = ρ gh → समीकरण बी

अब हम समीकरण 3 में p ₁ - p ₂ को समीकरण b में p ₁ - p _{2 से प्रतिस्थापित करते हैं:}

क्योंकि द्रव एक समान हैं, इसलिए उनका घनत्व भी समान होना चाहिए। समीकरण से ρ को हटा दें।

पायलट ट्यूब

यदि तरल पदार्थों की प्रवाह दर मापने के लिए वेंचुरी मीटर का उपयोग किया जाता है, तो गैसों या हवा की प्रवाह दर मापने के लिए पिटोट ट्यूब का उपयोग किया जाता है। बिंदु 1 पर स्थित छेद हवा के प्रवाह के समानांतर है। इन दोनों छेदों की स्थिति एक दूसरे से काफी दूर बनाई जाती है। पिटोट ट्यूब के सिरे को इस प्रकार मोड़ें कि छेद के बाहर हवा की गति और दबाव, स्वतंत्र रूप से बहने वाली हवा की गति और दबाव के बराबर हो जाए। इस स्थिति में, v₁ = मुक्त प्रवाह वाली वायु प्रवाह दर (यही हम मापेंगे) और मैनोमीटर के बाएं सिरे (बाएं पाइप) पर दबाव = मुक्त प्रवाह वाली वायु दाब (P)₁).

मैनोमीटर के दाहिने पैर की ओर जाने वाला छेद वायु प्रवाह के लंबवत है। इसलिए, इस छेद (मध्य भाग) से वायु प्रवाह की दर कम हो जाती है और बिंदु 2 पर पहुँचने पर वायु रुक जाती है। इस स्थिति में, v ₂ = 0। मैनोमीटर के दाहिने पैर पर दाब बिंदु 2 पर वायु दाब (P ₂ ) के बराबर है। बिंदु 1 और 2 की ऊँचाई लगभग समान है (अंतर बहुत अधिक नहीं है), इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।

दाब अंतर (P ₂ ‐ P ₁ ) = मैनोमीटर में द्रव का जलस्थैतिक दाब (मैनोमीटर में काला रंग द्रव, पारा को दर्शाता है)। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

पी ₂ - पी ₁ = ρ 'घ → समीकरण 2

ρ' = मैनोमीटर में द्रव का घनत्व

समीकरण 1 और समीकरण 2 को देखें। बायां पक्ष (P ₂ ‐ P ₁ ) के बराबर है। इसलिए, समीकरण 1 और 2 को इस प्रकार बदला जा सकता है:

परफ्यूम स्प्रेयर

यह एक सामान्य अवलोकन है, हालांकि प्रत्येक कारखाने का डिजाइन अलग-अलग होता है।

सामान्य तौर पर, परफ्यूम स्प्रेयर के काम करने के सिद्धांत को इस प्रकार समझाया जा सकता है (चित्र को देखते हुए)। जब रबर की गेंद को दबाया जाता है, तो उसके अंदर की हवा पाइप 1 से बाहर निकलती है। इसलिए, पाइप 1 में हवा की गति अधिक होती है। हवा की गति अधिक होने के कारण, पाइप 1 में हवा का दबाव कम हो जाता है। इसके विपरीत, पाइप 2 में हवा की गति कम होती है। पाइप 2 में हवा का दबाव अधिक होता है। परिणामस्वरूप, परफ्यूम ऊपर की ओर धकेला जाता है। जब परफ्यूम पाइप 1 तक पहुँचता है, तो रबर की गेंद के अंदर से निकली हवा उसे बाहर धकेलती है... अंततः परफ्यूम स्प्रे बाहर निकलता है और शरीर को गीला कर देता है।

आमतौर पर छेद छोटे होते हैं, इसलिए इत्र जल्दी से बाहर निकल जाता है।

पिपेट या साइफन से पानी पिएं

क्या आपने कभी पिपेट का इस्तेमाल करके आइस टी या सिरप पिया है? जब हम पिपेट से पानी पीते हैं, तो असल में पिपेट के अंदर की हवा की गति बढ़ जाती है। इस स्थिति में, हमारे मुंह से लगे पिपेट के हिस्से में हवा की गति अधिक होती है। परिणामस्वरूप, पिपेट के उस हिस्से में हवा का दबाव कम हो जाता है जो पेय पदार्थ के करीब होता है। पिपेट के उस हिस्से में हवा की गति कम होती है। क्योंकि इसकी गति कम होती है, इसलिए दबाव अधिक होता है। हवा के दबाव में यही अंतर पानी या पेय पदार्थ को हमारे मुंह में प्रवाहित करता है। इस स्थिति में, तरल पदार्थ पिपेट के उस हिस्से से कम दबाव वाले हिस्से की ओर बढ़ता है जहां हवा का दबाव अधिक होता है।

चिमनी

क्या आपने कभी चिमनी देखी है? अगर आप सुराबाया, सेमारंग, जकार्ता जैसे शहरों में रहते हैं, तो आपने शायद कारखानों की चिमनियां देखी होंगी। चिमनी से धुआं ऊपर क्यों उठता है? सबसे पहले, दहन से निकलने वाला धुआं गर्म होता है। उच्च तापमान के कारण हवा का घनत्व कम होता है। कम घनत्व वाली हवा आसानी से ऊपर उठती है। लेकिन सिर्फ यही कारण नहीं है... बर्नौली का सिद्धांत भी इसमें भूमिका निभाता है।

दूसरा, बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि यदि वायु प्रवाह दर अधिक है, तो दाब कम होता है, और इसके विपरीत, यदि वायु प्रवाह दर कम है, तो दाब अधिक होता है। चिमनी का ऊपरी सिरा खुले में है। चिमनी के ऊपरी सिरे पर हवा चल रही है, इसलिए आसपास का वायु दाब कम है। एक बंद कमरे के अंदर हवा नहीं चल रही है, इसलिए वायु दाब अधिक है। अतः, धुआँ चिमनी से बाहर निकल जाता है। हवा अधिक वायु दाब वाले क्षेत्रों से कम वायु दाब वाले क्षेत्रों की ओर चलती है।

चूहों को भी बर्नौली का सिद्धांत पता होता है।

नीचे दी गई तस्वीर को देखिए। यह जमीन में बने चूहे के बिल की तस्वीर है। चूहे भी बर्नौली के सिद्धांत को समझते हैं।

चूहों को दम घुटने से मरना नहीं था, इसलिए उन्होंने अलग-अलग ऊंचाइयों पर दो गड्ढे खोदे। ज़मीन की ऊँचाई में अंतर के कारण हवा आपस में दब गई। यह कुछ वैसा ही है जैसे पानी एक बड़े अनुप्रस्थ काट वाले पाइप से एक छोटे अनुप्रस्थ काट वाले पाइप में बहता है। इस दबाव के कारण हवा की गति बढ़ जाती है और वायु दाब कम हो जाता है।

वायु दाब में अंतर के कारण, हवा चूहे के बिल से होकर बहने के लिए विवश होती है। हवा उच्च वायु दाब वाले क्षेत्रों से निम्न वायु दाब वाले क्षेत्रों की ओर बहती है।

विमान लिफ्ट बल

हवाई जहाज को उड़ने में सक्षम बनाने वाले कारकों में से एक पंखों की उपस्थिति है। हवाई जहाज के पंख घुमावदार होते हैं, जिनका अगला भाग पिछले भाग से मोटा होता है। पंख के इस आकार को एयरोफॉयल कहा जाता है। यह विचार पक्षियों के पंखों से लिया गया है, जिनका आकार भी इसी तरह का होता है (घुमावदार और अगला भाग मोटा)। अंतर यह है कि पक्षियों के पंख फड़फड़ाए जा सकते हैं, जबकि हवाई जहाज के पंख नहीं। पक्षी अपने पंखों को फड़फड़ाकर उड़ सकते हैं, जिससे पंखों के दोनों ओर हवा का प्रवाह होता है। हवाई जहाज के पंखों के दोनों ओर हवा का प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए हवाई जहाज को आगे बढ़ाना आवश्यक है। मनुष्य हवाई जहाज को चलाने के लिए इंजनों का उपयोग करते हैं।

पंख का अगला भाग ऊपर की ओर मुड़ा हुआ होता है। नीचे से आने वाली हवा ऊपर से आने वाली हवा से टकराती है, ठीक वैसे ही जैसे पानी एक चौड़े अनुप्रस्थ काट वाले पाइप से पतले अनुप्रस्थ काट वाले पाइप में बहता है। इसके परिणामस्वरूप, पंख के ऊपर हवा की गति बढ़ जाती है। हवा की गति बढ़ने से वायु दाब कम हो जाता है। इसके विपरीत, पंख के नीचे हवा की गति कम होती है क्योंकि वहां हवा कम भीड़भाड़ वाली होती है (वायु दाब अधिक होता है)। इस दाब अंतर के कारण हवाई जहाज के पंख ऊपर की ओर उठते हैं।

बर्नौली का सिद्धांत हवाई जहाज के उत्प्लावन का केवल एक कारक है। एक अन्य कारक संवेग है। आमतौर पर, हवाई जहाज के पंख थोड़े ऊपर की ओर झुके होते हैं। पंख के निचले हिस्से से टकराने वाली हवा नीचे की ओर विक्षेपित होती है। चूंकि हवाई जहाज में दो पंख होते हैं, एक बाएँ और एक दाएँ, इसलिए विक्षेपित हवा आपस में टकराती है। टकराने वाले वायु अणुओं के संवेग में परिवर्तन से अतिरिक्त उत्प्लावन उत्पन्न होता है।

क्योंकि पंख पूंछ की ओर नीचे की ओर मुड़ा हुआ होता है, इसलिए पंख के बल पर हवा नीचे की ओर बहती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, प्रत्येक क्रिया बल की एक प्रतिक्रिया बल होती है। पंख हवा को नीचे की ओर धकेलता है, इसलिए हवा को पंख को ऊपर की ओर धकेलना चाहिए। इस स्थिति में, हवा पंख पर उत्प्लावन बल लगाती है। अतः, बर्नौली का सिद्धांत ही एकमात्र कारक नहीं है जो हवाई जहाज को ऊपर उठाता है।

मछुआरे भी बर्नौली के सिद्धांत को जानते हैं।

क्या आपने कभी पाल वाली नाव पर सफर किया है? मछुआरे भी जानते हैं कि बर्नौली का सिद्धांत कैसे काम करता है 😉