सातत्य समीकरण

निरंतरता समीकरण सामग्री

नल को धीरे-धीरे खोलकर पानी के बहाव को देखें। जब नल घूमना बंद हो जाए, तो उसे अपने हाथ से थोड़ा सा रोकें। अब तुलना करें कि किस स्थिति में पानी का बहाव तेज़ है। जब नल थोड़ा रुका हुआ हो या खुला हो? अगर आपके पास फूलों को पानी देने के लिए इस्तेमाल होने वाली कोई पाइप है, तो उसमें से पानी बहने दें। पाइप को अपने हाथ या उंगली से थोड़ा सा रोकें। पाइप का जितना ज़्यादा हिस्सा रुका होगा, पानी उतनी ही तेज़ी से बहेगा। इसके विपरीत, अगर पाइप नहीं रुकी है, तो पानी धीमी गति से बहेगा। ऐसा क्यों होता है? इसे समझने के लिए, निरंतरता समीकरण का अध्ययन करें।

स्ट्रीमलाइन और फ्लो ट्यूब

सबसे पहले, आइए स्ट्रीमलाइन और फ्लो ट्यूब की अवधारणाओं को समझते हैं। यह अवधारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आपको निरंतरता समीकरण को समझने में मदद करेगी।

सुव्यवस्थित

नीचे दी गई छवि को देखें, नीली रेखा स्ट्रीमलाइन है।

स्थिर प्रवाह में, किसी बिंदु (मान लीजिए बिंदु A) पर प्रत्येक द्रव कण का वेग स्थिर रहता है। बिंदु B से गुजरते समय द्रव कणों के वेग में परिवर्तन हो सकता है। हालांकि, बिंदु B पर पहुंचने पर, पीछे आने वाले द्रव कण अपने से पहले वाले कणों के समान वेग से प्रवाहित होते रहते हैं। यही प्रक्रिया बिंदु C पर पहुंचने पर भी लागू होती है, और इसी प्रकार आगे भी। स्ट्रीमलाइन बिंदुओं A, B और C को जोड़ने वाला वक्र है।

प्रवाह ट्यूब

मूलतः, हम द्रव प्रवाह के प्रत्येक बिंदु से होकर गुजरने वाली प्रत्येक स्ट्रीमलाइन को खींच सकते हैं। स्थिर द्रव प्रवाह की बात करें तो, एक काल्पनिक सतह क्षेत्र पर एक निश्चित कोण से गुजरने वाली कई स्ट्रीमलाइन मिलकर एक प्रवाह नलिका बनाती हैं। द्रव के कण आपस में प्रतिच्छेद नहीं करते, बल्कि हमेशा समानांतर रहते हैं, और प्रवाह नलिका एक पाइप की तरह दिखती है जिसका आकार हमेशा एक जैसा रहता है। नलिका के एक सिरे से प्रवेश करने वाला द्रव दूसरे सिरे से बाहर निकल जाता है।

नामे

डिस्चार्ज किसी निश्चित अनुप्रस्थ काट से किसी निश्चित समय अंतराल में प्रवाहित होने वाले द्रव की मात्रा को दर्शाता है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

आपकी समझ को और बेहतर बनाने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि एक पाइप से तरल पदार्थ बह रहा है। पाइप आमतौर पर बेलनाकार होते हैं और उनका एक निश्चित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल होता है। पाइप की लंबाई भी होती है।

जब द्रव पाइप में L तक प्रवाहित होता है, तो पाइप में द्रव का आयतन V = AL होता है (V = द्रव का आयतन, A = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और L = पाइप की लंबाई)। चूंकि L के अनुदिश पाइप में प्रवाह के दौरान द्रव एक निश्चित समयावधि तय करता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि द्रव निर्वहन का परिमाण है:

क्योंकि v = s/t = L/t —> L = vt, इसलिए उपरोक्त समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

इस प्रकार, जब किसी निश्चित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और लंबाई वाले पाइप से किसी निश्चित समयावधि के लिए द्रव प्रवाहित होता है, तो द्रव निर्वहन (Q) का परिमाण अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (A) को द्रव प्रवाह वेग (v) से गुणा करने के बराबर होता है।

सातत्य समीकरण

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार, अलग-अलग व्यास वाले पाइपों में द्रव प्रवाह पर विचार करें।

यह चित्र बाएं से दाएं तरल प्रवाह को दर्शाता है (तरल पदार्थ एक बड़े व्यास वाले पाइप से एक छोटे व्यास वाले पाइप की ओर बह रहा है)। बिंदीदार रेखाएं सुव्यवस्थित प्रवाह रेखाएं हैं।

चित्र कैप्शन: A ₁ = बड़े व्यास वाले पाइप खंड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, A ₂ = छोटे व्यास वाले पाइप खंड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, v ₁ = बड़े व्यास वाले पाइप खंड में द्रव प्रवाह वेग, v ₂ = छोटे व्यास वाले पाइप खंड में द्रव प्रवाह वेग, L = द्रव द्वारा तय की गई दूरी।

द्रव गतिकी के परिचय में यह बताया गया था कि द्रव गतिकी में हम असंपीड्य, अश्यान, अशांत और स्थिर द्रवों के प्रवाह की चर्चा करते हैं। स्थिर प्रवाह में, किसी बिंदु पर द्रव कणों का वेग उस बिंदु से गुजरने वाले अन्य द्रव कणों के वेग के समान होता है। द्रव प्रवाह एक दूसरे को काटते भी नहीं हैं (प्रवाह रेखाएं समानांतर होती हैं)। इसलिए, पाइप के एक सिरे से प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान दूसरे सिरे से निकलने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होना चाहिए। यदि एक निश्चित द्रव्यमान वाला द्रव एक बड़े व्यास वाले पाइप में प्रवेश करता है, तो वह द्रव एक छोटे व्यास वाले पाइप से स्थिर द्रव्यमान के साथ बाहर निकलेगा।

अब ऊपर दिए गए पाइप के चित्र को देखिए। पाइप के बड़े व्यास वाले हिस्से और छोटे व्यास वाले हिस्से को देखिए।

एक निश्चित समयावधि के दौरान, एक निश्चित मात्रा में द्रव एक बड़े व्यास (A) वाले पाइप के एक भाग से होकर बहता है।₁) जहाँ तक L₁ (L₁ = वी₁ t). प्रवाहित होने वाले द्रव का आयतन V है।₁ = ए₁ L₁ = ए₁ v₁ t. उसी समयावधि के दौरान, एक अन्य मात्रा में द्रव कम व्यास (A) वाले पाइप के एक खंड से होकर बहता है।₂) जहाँ तक L₂ (L₂ = वी₂ t). प्रवाहित होने वाले द्रव का आयतन V है।₂ = ए₂ L₂ = ए₂ v₂ t.

असंपीड्य द्रवों के लिए निरंतरता समीकरण (अपरिमेय)

सबसे पहले, आइए एक असंपीड्य द्रव के मामले पर विचार करें। एक असंपीड्य द्रव में, द्रव का घनत्व, या द्रव्यमान, उन सभी बिंदुओं पर हमेशा समान रहता है जिनसे वह गुजरता है। एक निश्चित समयावधि के दौरान A1 _{( पाइप का बड़ा व्यास) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली पाइप में प्रवाहित द्रव का द्रव्यमान होगा:}

_{इसी प्रकार, A₂} अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (छोटे पाइप व्यास) वाले पाइप में एक निश्चित समयावधि के दौरान प्रवाहित होने वाले द्रव का द्रव्यमान होगा:

यह मानते हुए कि स्थिर प्रवाह में, प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान, बाहर निकलने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है, तो:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (द्रव का घनत्व और समय अंतराल समान हैं, इसलिए वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं)

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

अतः, असंपीड्य द्रवों में निरंतरता समीकरण लागू होता है:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — समीकरण 1

टिप्पणी:

A ₁ = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1, A ₂ = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2, v ₁ = अनुप्रस्थ काट 1 पर द्रव प्रवाह वेग, v ₂ = अनुप्रस्थ काट 2 पर द्रव प्रवाह वेग, A v = आयतन प्रवाह दर V/t उर्फ ​​निर्वहन

समीकरण 1 दर्शाता है कि आयतन प्रवाह दर, जिसे डिस्चार्ज भी कहा जाता है, पाइप या प्रवाह नली के प्रत्येक बिंदु पर हमेशा समान रहती है। पाइप के अनुप्रस्थ काट के घटने पर द्रव प्रवाह दर बढ़ती है; इसके विपरीत, पाइप के अनुप्रस्थ काट के बढ़ने पर द्रव प्रवाह दर घटती है।

जब हम नल को आंशिक रूप से बंद करते हैं, तो पानी का बहाव नल के आंशिक रूप से बंद होने की तुलना में तेज़ हो जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि नल के आंशिक रूप से बंद होने पर उसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल कम हो जाता है, जिससे पानी का बहाव बढ़ जाता है (तरल पदार्थ तेज़ी से बहता है)। पाइपों के मामले में भी यही बात लागू होती है। हालांकि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि नल आंशिक रूप से बंद हो या खुला, पानी के बहाव की दिशा में सभी बिंदुओं पर डिस्चार्ज या आयतनिक बहाव दर समान रहती है। इसलिए, जो बदलता है वह तरल पदार्थ की बहाव दर है।

तो नदी में पानी के बहाव के बारे में क्या? नदी के गहरे हिस्सों का अनुप्रस्थ काट उथले हिस्सों की तुलना में बड़ा होता है, इसलिए गहरे हिस्सों में पानी के बहाव की दर उथले हिस्सों की तुलना में कम होती है। यदि आप नदी को एकदम शांत बहते हुए देखते हैं, तो इसका मतलब है कि नदी गहरी है। लेकिन अगर नदी अचानक तेज़ बहने लगे, तो वह हिस्सा निश्चित रूप से उथला है। हालांकि, नदी के गहरे या शांत हिस्सों में पानी के आयतन का बहाव हमेशा एक जैसा ही रहता है।

संपीड्य द्रवों के लिए निरंतरता समीकरण (सिकुड़ाया हुआ)

संपीड्य द्रवों के मामले में , द्रव का घनत्व हमेशा एक जैसा नहीं होता। दूसरे शब्दों में, संपीडित करने पर द्रव का घनत्व बदल जाता है। जबकि असंपीड्य द्रवों में , द्रव का घनत्व समीकरण से बाहर हो जाता है, इस मामले में, द्रव का घनत्व अभी भी समीकरण में शामिल है। पहले प्राप्त किए गए समीकरण का संदर्भ लेते हुए, आइए संपीड्य द्रवों के लिए समीकरण प्राप्त करें।

यह मानते हुए कि स्थिर प्रवाह में, प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान, बाहर निकलने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है, तो:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

द्रव प्रवाह का समय अंतराल समान है, इसलिए इसे हटाया जा सकता है। समीकरण इस प्रकार परिवर्तित होता है:

ρ ए ₁ वी ₁ = ρ ए ₂ वी ₂ → समीकरण 2

यह संपीड्य द्रव का समीकरण है। एकमात्र अंतर द्रव के घनत्व में है। जब किसी द्रव को संपीड़ित किया जाता है, तो उसका घनत्व बदल जाता है। इसके विपरीत, जब कोई द्रव असंपीड्य होता है, तो उसका घनत्व स्थिर रहता है और समीकरण रद्द हो जाता है।

उदाहरण प्रश्न 1:

10 सेंटीमीटर व्यास वाले एक पाइप से 2 मीटर/सेकंड की गति से पानी बह रहा है। पानी का निकास कितना होगा?

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

पाइप का व्यास = 10 सेमी (यह पाइप का आंतरिक व्यास है)

पाइप की त्रिज्या (r) = 5 सेमी = 0,05 मीटर

v जल = 2 मीटर/सेकंड

पूछा गया: डेबिट

उत्तर :

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 मीटर) ² (2 मीटर/सेकंड)

Q = (3,14)(0,0025 m ² )(2 m/s)

Q = 0,0157 मीटर ^/ सेकंड

उदाहरण प्रश्न 2:

20 सेंटीमीटर व्यास वाली एक जल पाइप को 10 सेंटीमीटर व्यास वाली दूसरी पाइप से जोड़ा गया है। यदि 20 सेंटीमीटर व्यास वाली पाइप में जल प्रवाह दर 4 मीटर/सेकंड है, तो 10 सेंटीमीटर व्यास वाली पाइप में जल प्रवाह दर क्या होगी?

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

व्यास 1 = 20 सेमी (आर ₁ = 10 सेमी = 0,1 मीटर)

v ₁ = 4 m/s

व्यास 2 = 10 सेमी (आर ₂ = 5 सेमी = 0,05 मीटर)

पूछा गया : v ₁

उत्तर :

प्रश्न ₁ = प्रश्न ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π आर ₁₂ ) (4 मी/से) = (π आर ₂₂ ) (वी ₂ )

(0,1 मीटर) ² (4 मीटर/सेकंड) = (0,05 मीटर) ² (v ² )

(0,01 मीटर ² )(4 मीटर/सेकंड) = (0,0025 मीटर ² )(v ² )

(0,04 मीटर ³ /सेकंड) = (0,0025 मीटर ² )(v ² )

v ² = 16 m/s