वेक्टर – समस्याएं और समाधान

वेक्टर – समस्याएं और समाधान

वेक्टर और स्केलर

1. निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-से अदिश-सदिश युग्म हैं…

ए. बल – त्वरण

बी. दबाव – बल

C. विस्थापन – गति

डी. विद्युत धारा – दाब

समाधान:

बल = सदिश, त्वरण = सदिश

दाब = अदिश राशि, बल = सदिश राशि

विस्थापन = सदिश, गति = अदिश

विद्युत धारा = अदिश राशि, दाब = अदिश राशि

सही जवाब बी है।

2.

सही उत्तर संख्या द्वारा दर्शाया गया है…

ए. 1 और 4

बी. 1 और 2

सी. 2 और 3

डी. 3 और 4

समाधान:

गति = अदिश राशि

विस्थापन = सदिश

भार = सदिश

त्वरण = सदिश

सही जवाब सी है।

वैक्टर के घटक

3. दो सदिश, F ₁ = 20 N और F ₂ = 30 N, की दिशा नीचे दिए गए चित्र में दर्शाई गई है। x-अक्ष और y-अक्ष में सदिशों के घटकों का परिणामी ज्ञात कीजिए।

ए. 5√3 एन और -25 एन

बी. -5√3 एन और 25 एन

सी. 25 एन और 5√3 एन

डी. 30 एन और 25√3 एन

ज्ञात :

F ₁ = 20 न्यूटन

F ₁ और x अक्ष के बीच का कोण = 30 ^°

F ₂ = 30 न्यूटन

F ₂ और x अक्ष के बीच का कोण = 30 ^°

आवश्यकता है: F _x और F _y

समाधान:

F _1x = F ₁ cos 30 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 न्यूटन (प्लस चिह्न क्योंकि यह +x अक्ष की ओर इंगित करता है)

F _1y = F ₁ sin 30 ^o = (20)(0.5) = 10 न्यूटन (प्लस चिह्न क्योंकि बिंदु +y अक्ष की ओर है)

F _2x = F ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5√3) = -15√3 न्यूटन (ऋणात्मक चिह्न क्योंकि यह -x अक्ष की ओर इंगित करता है)

F _2y = F ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 न्यूटन (प्लस चिह्न क्योंकि यह +y अक्ष की ओर इंगित करता है)

x घटक का परिणाम:

F _x = F _1x + F _2x = 10√3 N – 15√3 N = -5√3 न्यूटन

y घटक का परिणाम:

F _y = F _1y + F _2y = 10 न्यूटन + 15 न्यूटन = 25 न्यूटन

सही जवाब बी है।

दो सदिशों का परिणाम

4. दो बच्चे A और B एक ब्लॉक को धकेलते हैं। यदि A ब्लॉक को दक्षिण दिशा में 400 N के बल से धकेलता है और उसी समय B ब्लॉक को पूर्व दिशा में 300 N के बल से धकेलता है, तो A और B के बल का परिणामी ज्ञात कीजिए।

ए. 100 उत्तर दक्षिण की ओर

बी. 100 उत्तर पूर्व की ओर

लगभग 500 उत्तर दक्षिणपूर्व की ओर

डी. 700 उत्तर दक्षिणपूर्व की ओर

ज्ञात :

U = उत्तर, T = पूर्व, S = दक्षिण, B = पश्चिम

TL = उत्तरपूर्व, TG = दक्षिणपूर्व, BD = दक्षिणपश्चिम, BL = उत्तरपश्चिम

A = 400 न्यूटन दक्षिण की ओर

B = 300 न्यूटन पूर्व दिशा की ओर

ज्ञात करना है: कुल बल (R) का परिमाण और दिशा।

समाधान:

सही जवाब सी है।

विस्थापन सदिश का परिणामी

5. कोई व्यक्ति घर से मोटरसाइकिल पर उत्तर दिशा में 6 किमी और फिर पूर्व दिशा में 8 किमी की यात्रा करता है। प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति ज्ञात कीजिए।

ए. 14 किमी उत्तरपूर्व

बी. 14 किमी दक्षिण-पश्चिम

लगभग 10 किमी उत्तर-पूर्व

डी. 10 किमी उत्तर-पश्चिम

ज्ञात :

वांछित: परिणामी विस्थापन का परिमाण और दिशा

समाधान:

सही जवाब सी है।

6.

ऊपर दिए गए चित्र के आधार पर, यदि 1 वर्ग 1 किलोमीटर को दर्शाता है, तो कुल विस्थापन कितना होगा?

समाधान:

दूरी = A + B + C = 6 + 6 + 2 = 14 किमी

विस्थापन = R = 12 किमी

7. एक कार A से B तक 30 किमी उत्तर, फिर 60 किमी पूर्व और फिर 110 किमी दक्षिण की ओर यात्रा करती है। A से D तक कार का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान:

AA' = 60 किमी

A'D = 110 किमी – 30 किमी = 80 किमी

8. एक कार शहर A से शहर B तक 100 किमी उत्तर की ओर, फिर शहर C तक 60 किमी पूर्व की ओर और फिर शहर D तक 20 किमी दक्षिण की ओर जाती है। कार का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान:

D'D = 60 किमी

एडी' = 100 किमी - 20 किमी = 80 किमी

1. वेक्टर क्या होता है?
   • उत्तर: सदिश एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण (आकार) और दिशा दोनों होते हैं। इसके उदाहरणों में वेग, बल और त्वरण शामिल हैं।
2. एक सदिश और एक अदिश राशि में क्या अंतर होता है?
   • उत्तर: अदिश राशि में केवल परिमाण होता है, जबकि सदिश राशि में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। उदाहरण के लिए, तापमान एक अदिश राशि है क्योंकि इसका एक मान होता है लेकिन कोई दिशा नहीं होती, जबकि वेग एक सदिश राशि है क्योंकि यह एक विशेष दिशा में गति (परिमाण) को दर्शाता है।
3. किसी सदिश को ग्राफ़िक रूप से कैसे दर्शाया जा सकता है?
   • उत्तर: एक सदिश को ग्राफ़िक रूप से एक तीर द्वारा दर्शाया जा सकता है। तीर की लंबाई सदिश के परिमाण को दर्शाती है, और तीर की दिशा सदिश की दिशा को इंगित करती है।
4. किसी सदिश के शीर्ष और पूंछ का क्या महत्व है?
   • उत्तर: किसी सदिश का प्रारंभिक बिंदु उसकी पूंछ होती है, और अंतिम बिंदु उसका शीर्ष (या नोक) होता है। सदिशों के योग जैसी संक्रियाएँ करते समय, एक सदिश की पूंछ को दूसरे सदिश के शीर्ष पर रखा जाता है।
5. वैक्टरों को आपस में कैसे जोड़ा जाता है?
   • उत्तर: वैक्टरों को जोड़ने के लिए हेड-टू-टेल विधि का उपयोग किया जाता है। दूसरे वेक्टर की टेल को पहले वेक्टर के हेड पर रखा जाता है। फिर परिणामी वेक्टर को पहले वेक्टर की टेल से दूसरे वेक्टर के हेड तक खींचा जाता है।
6. इकाई सदिश और शून्य सदिश में क्या अंतर है?
   • उत्तर: इकाई सदिश का परिमाण एक होता है और यह एक निर्दिष्ट दिशा में इंगित करता है। इसका उपयोग किसी सदिश की दिशा को दर्शाने के लिए किया जाता है, चाहे उसका परिमाण कुछ भी हो। शून्य (या शून्य) सदिश का कोई परिमाण नहीं होता और न ही कोई विशिष्ट दिशा होती है।
7. किसी सदिश को अदिश राशि से कैसे गुणा किया जा सकता है?
   • उत्तर: किसी सदिश को अदिश राशि से गुणा करने पर उसका परिमाण तो बदल जाता है, लेकिन दिशा नहीं बदलती। यदि अदिश राशि धनात्मक है, तो दिशा वही रहती है; यदि ऋणात्मक है, तो दिशा उलट जाती है।
8. दो सदिशों के लंबवत या समांतर होने का क्या अर्थ है?
   • उत्तर: दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनके बीच का कोण 90 डिग्री हो। उनका डॉट प्रोडक्ट शून्य होगा।
9. दो सदिशों का परिणामी कैसे निर्धारित किया जाता है?
   • उत्तर: परिणामी सदिश दोनों सदिशों का योग होता है। ग्राफ़िक रूप से, जब सदिशों को तीरों के रूप में दर्शाया जाता है, तो आप दूसरे सदिश की पूंछ को पहले सदिश के शीर्ष पर रखकर और पहले सदिश की पूंछ से दूसरे सदिश के शीर्ष तक एक नया तीर (परिणामी सदिश) खींचकर परिणामी सदिश ज्ञात कर सकते हैं।
10. यदि कोई सदिश पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है और उसका परिमाण 10 इकाई है, तो आप उसके विपरीत दिशा का वर्णन कैसे करेंगे?

• उत्तर: इस वेक्टर के विपरीत वेक्टर का परिमाण समान (10 इकाई) होगा, लेकिन यह विपरीत दिशा में, यानी पश्चिम की ओर इंगित करेगा।