टोरिसेली का प्रमेय – समस्याएं और समाधान

टोरिसेली का प्रमेय – समस्याएं और समाधान

1. 100 सेंटीमीटर ऊँचाई वाली एक नली पानी से भरी है। इसमें एक छेद Q है जो जमीन से 10 सेंटीमीटर ऊपर स्थित है। क्षैतिज दूरी (x) क्या है?

ज्ञात :

छेद और पानी की सतह के बीच की दूरी (h) = 100 सेमी – 10 सेमी = 90 सेमी = 0.9 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 मीटर/सेकंड²

चाहता था: x की दूरी

समाधान:

छेद पर पानी के प्रवाह की गति

वी = गति, जी = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, एच = छेद और पानी की सतह के बीच की दूरी

छेद पर पानी के प्रवाह की गति:

हवा में समय

गड्ढे से जमीन तक पानी की गति ही गति है। प्रक्षेप्य गतिप्रक्षेप्य गति को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का अलग-अलग विश्लेषण करके समझा जा सकता है। x दिशा में गति स्थिर वेग से होती है और y दिशा में गति स्थिर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से होती है।

इस समस्या में, ऊर्ध्वाधर गति इसका विश्लेषण मुक्त पतन गति के रूप में किया गया।

हवा में बिताए गए समय की गणना करने के लिए समीकरण का उपयोग करें। मुक्त पतन गति.

ज्ञात :

छेद की ऊँचाई (y) = 10 सेमी = 0.1 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

वांछित : समय अंतराल (t)

समाधान:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) टी²

0.1 = 5 टी²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 सेकंड

क्षैतिज दूरी (x):

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v)_o = वी_ox) = 3√2 मीटर/सेकंड

हवा में बिताया गया समय (t) = √0.02 सेकंड

वांछित : क्षैतिज दूरी (x)

समाधान:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 मीटर

2. एक टैंक में 1 मीटर ऊँचाई तक पानी भरा है। बिंदु P पर एक छेद है। छेद पर पानी के प्रवाह की गति क्या है? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है।².

ज्ञात :

छेद और पानी की सतह के बीच की दूरी (h) = 100 सेमी – 80 सेमी = 20 सेमी = 0.2 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

चाहता था: छेद पर पानी के प्रवाह की गति (v)

समाधान:

छेद पर पानी के प्रवाह की गति:

3. एक बड़ाई टब इसमें पानी है और नीचे दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार एक नल है। यदि g = 10 ms^-2तो नल से निकलने वाले पानी का वेग होगा…

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 85 सेमी – 40 सेमी = 45 सेमी = 0.45 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

चाहता था: पानी की गति (क्रिया)

समाधान:

Tओरिसेली के प्रमेय के अनुसार, जल की सतह से h दूरी पर स्थित एक छेद से होकर गुजरने वाले जल का वेग, जल के वेग के बराबर होता है। की गति निर्बाध गिरावटआईएनजी h की ऊंचाई से पानी।

मुक्त पतन के सूत्र का उपयोग करके जल के वेग की गणना की जाती है।a v_t² = 2 जीएच

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 मीटर/सेकंड

4. A टब पानी से भरा हुआ है और दीवार पर एक छेद है (देखें नीचे का चित्रछेद से निकलने वाले पानी की गति... (जी = 10 एमएस)^-2)

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 1.5 मीटर – 0.25 मीटर = 1.25 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

वांछित : Sपानी की गति (V)

समाधान:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 मीटर/सेकंड

5. एक टैंक जिसमें 1 मीटर ऊँचाई तक पानी भरा है (g = 10 ms)।^-2) और दीवार पर एक रिसाव का छेद है (देखें नीचे का चित्रछेद से निकलने वाले पानी की गति...

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 1 मीटर – 0.20 मीटर = 0.8 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

वांछित : Sपानी की गति (V)

समाधान:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 मीटर/सेकंड

1. टोरिसेली का प्रमेय क्या वर्णित करता है?
   • उत्तर: टोरिसेली का प्रमेय एक छिद्र से बाहर बहने वाले द्रव की गति को छिद्र के ऊपर द्रव स्तंभ की ऊंचाई से संबंधित करता है, यह मानते हुए कि प्रवाह स्थिर, अश्यान (कोई श्यानता नहीं) और असंपीड्य है।
2. टोरिसेली के प्रमेय को गणितीय रूप से कैसे व्यक्त किया जाता है?
   • उत्तर: प्रमेय को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: v=√2gh​, जहां $v$ यह बहिर्वाह की गति है, $g$ यह गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और $h$ यह छिद्र के ऊपर द्रव स्तंभ की ऊंचाई है।
3. टोरिसेली के प्रमेय को किन मान्यताओं के आधार पर व्युत्पन्न किया गया था?
   • उत्तर: यह प्रमेय मानता है कि द्रव असंपीड्य और गैर-श्यान है, प्रवाह स्थिर है, और द्रव में कोई अतिरिक्त ऊर्जा जोड़ी या ली नहीं जाती है।
4. यदि किसी पात्र में अलग-अलग गहराई पर दो छेद हों, तो उन छेदों से निकलने वाले तरल पदार्थों की गति की तुलना कैसे की जाएगी?
   • उत्तर: तल के निकट स्थित छेद से निकलने वाले द्रव की गति ऊपरी छेद से निकलने वाले द्रव की गति से अधिक होगी। इसका कारण यह है कि अधिक गहराई पर दाब (और इस प्रकार स्थितिज ऊर्जा) अधिक होती है।
5. किसी पात्र के आकार या अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर द्रव के निकलने की गति क्यों निर्भर नहीं करती?
   • उत्तर: टोरिसेली का प्रमेय केवल छिद्र के ऊपर द्रव स्तंभ की ऊंचाई के कारण उत्पन्न संभावित ऊर्जा पर विचार करता है। पात्र का आकार इस ऊंचाई को नहीं बदलता, इसलिए बहिर्वाह की गति समान रहती है।
6. वास्तविक परिस्थितियों में किसी छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव की वास्तविक गति, टोरिसेली के प्रमेय द्वारा की गई भविष्यवाणी से किस प्रकार भिन्न होती है?
   • उत्तर: वास्तविक परिस्थितियों में, द्रव की श्यानता, अशांति और छिद्र के आकार जैसे कारक वास्तविक गति को प्रभावित कर सकते हैं, जिससे यह अक्सर टोरिसेली के प्रमेय द्वारा अनुमानित गति से कम हो जाती है।
7. टोरिसेली के प्रमेय और ऊर्जा संरक्षण के बीच क्या संबंध है?
   • उत्तर: टोरिसेली का प्रमेय यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत से व्युत्पन्न है। यह द्रव की सतह पर स्थित स्थितिज ऊर्जा को छिद्र पर स्थित गतिज ऊर्जा के समतुल्य मानता है।
8. यदि किसी द्रव से भरे पात्र के बिल्कुल ऊपरी सिरे पर एक छिद्र मौजूद हो, तो टोरिसेली का प्रमेय बहिर्वाह की गति का वर्णन कैसे करता है?
   • उत्तर: ऊँचाईं $h$ छिद्र के ऊपर का मान शून्य होगा, इसलिए टोरिसेली के प्रमेय के अनुसार, बहिर्वाह की गति शून्य होगी।
9. वायुमंडलीय दबाव की उपस्थिति टोरिसेली के प्रमेय की भविष्यवाणियों को कैसे प्रभावित करती है?
   • उत्तर: टोरिसेली के प्रमेय में यह माना जाता है कि पात्र वायुमंडल के लिए खुला है, और इस प्रकार, वायुमंडलीय दबाव द्रव की सतह पर समान रूप से कार्य करता है। द्रव की ऊँचाई के सापेक्ष दबाव अंतर पर विचार करने पर यह दबाव निरस्त हो जाता है, इसलिए प्रमेय मान्य रहता है।
10. पात्र में द्रव की मात्रा कम होने पर बहिर्वाह की गति पर क्या प्रभाव पड़ता है?

• उत्तर: जैसे-जैसे द्रव का स्तर घटता है, ऊंचाई $h$ छिद्र के ऊपर की गति कम हो जाती है। टोरिसेली के प्रमेय के अनुसार, बहिर्वाह की गति कम हो जाएगी। v=√2gh​.

ये प्रश्न और उत्तर द्रव गतिकी में टोरिसेली के प्रमेय के आधार, निहितार्थ और अनुप्रयोगों का अन्वेषण करते हैं।