घूर्णी गति पर न्यूटन का दूसरा नियम

घूर्णी गति पर न्यूटन के दूसरे नियम के बारे में लेख

4.1 बल के आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध

यदि किसी वस्तु पर, जिसका द्रव्यमान (m) है, एक परिणामी बल (ΣF) कार्य कर रहा है, तो वस्तु एक निश्चित त्वरण (a) के साथ रैखिक रूप से गति करती है। परिणामी बल, द्रव्यमान और त्वरण के बीच संबंध को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:

Σ F = ma

यह न्यूटन के दूसरे नियम का समीकरण है ।

घूर्णी गति में वे राशियाँ जो रैखिक गति में परिणामी बल (ΣF) के समतुल्य होती हैं, परिणामी बल आघूर्ण (Στ) कहलाती हैं। घूर्णी गति में वे राशियाँ जो रैखिक गति में द्रव्यमान (m) के समतुल्य होती हैं, जड़त्व आघूर्ण (I) कहलाती हैं। घूर्णी गति में वे राशियाँ जो रैखिक गति में त्वरण (a) के समतुल्य होती हैं, कोणीय त्वरण (α) कहलाती हैं।

यदि किसी वस्तु पर एक निश्चित जड़त्व आघूर्ण (I) के साथ परिणामी बल आघूर्ण (Στ) कार्य कर रहा है, तो वस्तु एक निश्चित कोणीय त्वरण (α) से घूर्णन करती है। परिणामी बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:

Στ = I α

यह समीकरण न्यूटन के दूसरे नियम का घूर्णी सादृश्य है।

4.2 घूर्णी गति पर न्यूटन के द्वितीय नियम के नमूना प्रश्न

नमूना समस्या 1.

एक ठोस पुली जिसका द्रव्यमान 1 kg और त्रिज्या 10 cm है, के किनारों पर रस्सी लिपटी हुई है, और रस्सी के एक सिरे पर 1 kg का भार लटका हुआ है। रस्सी को द्रव्यमान रहित मानें। नीचे की ओर मुक्त पतन के दौरान भार के त्वरण का परिमाण ज्ञात कीजिए। (g = 10 m/s²)²)

उपाय:

ज्ञात:

F = w = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 N

आर = 0.1 मीटर

आवश्यकता: भार का त्वरण

उपाय:

सबसे पहले, जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण की गणना करें।

ठोस पुली का जड़त्व आघूर्ण:

I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) ²

I = (0.5 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.005 kg ^m²

बल का क्षण:

τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m

कोणीय त्वरण:

भार का त्वरण:

ए = आर α = (0.1)(200) = 20 मी/से ²

नमूना समस्या 2.

2M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाली एक ठोस पुली के किनारे पर एक रस्सी लिपटी हुई है, जिसके एक सिरे पर m द्रव्यमान का भार लटका हुआ है। भार हटाने पर पुली कोणीय त्वरण से घूमने लगती है। यदि पुली को M द्रव्यमान वाली किसी वस्तु से इस प्रकार जोड़ा जाए कि वह समान कोणीय त्वरण से घूमने लगे, तो भार का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। (पुली का द्रव्यमान = 1⁄2 ^MR² )

उपाय:

ज्ञात:

ठोस पुली का द्रव्यमान: 2M

ठोस पुली की त्रिज्या: R

भार का द्रव्यमान: मीटर

वांछित: भार का द्रव्यमान

उपाय:

ठोस पुली पर द्रव्यमान M वाली वस्तुओं को जोड़ने से पहले और बाद में उसके जड़त्व आघूर्ण की गणना कीजिए:

जड़त्व आघूर्ण 1 : I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M)(R) ² = MR ²

जड़त्व आघूर्ण 2 : I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2एम + एम)(आर) ² = 1⁄2 (3एम)(आर) ² = 1.5 एमआर ²

पुली पर भार द्वारा लगाए गए बल का आघूर्ण:

τ = F l = (m)(g)(R)

पुली का कोणीय त्वरण, द्रव्यमान M वाली वस्तुओं को जोड़ने से पहले और बाद में समान रहता है।

भार का द्रव्यमान मूल भार के द्रव्यमान का 1.5 गुना है।