वक्र सतहों पर यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – समस्याएं और समाधान

वक्र सतहों पर यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – समस्याएं और समाधान

1. यदि बिंदु A पर गेंद की गति 6 m/s है, बिंदु B पर गेंद की गति √92 m/s है, और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g = 10 m/s² है ^, तो बिंदु B की ऊँचाई (h) क्या है?

ज्ञात :

बिंदु A पर गेंद की गति (v)_A) = 6 मीटर/सेकंड

बिंदु B पर गेंद की गति (v _B ) = √92 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

A की ऊँचाई (h _A ) = 5.6 मीटर

B की ऊँचाई (h _B ) = h

बिंदु B की ऊँचाई (h) ज्ञात करनी है।

समाधान:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा

बिंदु A पर, गेंद की गति = 0, इसलिए गेंद की गतिज ऊर्जा = 0. KE = 1/2 ^mv² = 1/2 m(0) = 0.

गेंद 5.6 मीटर की ऊंचाई पर है, इसलिए गेंद में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है। गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 मीटर

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = 56 मीटर + 0 = 56 मीटर

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

बिंदु B पर, गेंद की ऊँचाई h है। गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

गेंद की गतिज ऊर्जा: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ^² = 1/2 m (92)² = 46 ^m

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

56 मीटर = मीटर (10 घंटे + 46)

56 = 10 घंटे + 46

56 – 46 = 10 घंटे

10 = 10 घंटे

h = 10/10

h = 1 मीटर

2.

यदि प्रारंभिक वेग = 0, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 m/s² है ^, तो B की ऊँचाई पर गति क्या होगी?

ज्ञात :

प्रारंभिक गति (v _o ) = 0

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 50 मीटर – 10 मीटर = 40 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

अंतिम गति (v _t ) ज्ञात करनी है ।

समाधान:

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔKE = 1/2 मीटर (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत के समीकरण का उपयोग करके अंतिम गति (v _t ) की गणना करें :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 m

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 m/s

1. “यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण” से क्या तात्पर्य है?
   • उत्तर: यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का अर्थ है कि किसी पृथक प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग) स्थिर रहती है यदि उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण जैसे संरक्षी बल ही कार्य करते हैं।
2. किसी वक्रित सतह पर गतिमान वस्तु (जैसे कि एक गेंद जो वक्रित ढलान से नीचे लुढ़क रही हो) अपनी यांत्रिक ऊर्जा को कैसे संरक्षित रखती है?
   • उत्तर: जैसे-जैसे वस्तु घुमावदार सतह पर नीचे की ओर बढ़ती है, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, लेकिन कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है, यह मानते हुए कि कोई गैर-संरक्षी बल (जैसे घर्षण) कार्य नहीं कर रहे हैं।
3. यदि किसी गेंद को एक घुमावदार रैंप के शीर्ष से विराम अवस्था से छोड़ा जाता है, तो रैंप से नीचे की ओर गति करते समय उसकी गतिज ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?
   • उत्तर: जैसे-जैसे गेंद रैंप से नीचे जाती है, उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ती जाती है क्योंकि उसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है और गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
4. घर्षण की अनुपस्थिति में, एक घुमावदार स्लाइड के तल पर गेंद की गति की तुलना समान ऊंचाई वाली सीधी स्लाइड पर गेंद की गति से कैसे की जाएगी?
   • उत्तर: घुमावदार और सीधी दोनों तरह की स्लाइडों के लिए नीचे गेंद की गति समान होगी क्योंकि स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में रूपांतरण केवल ऊर्ध्वाधर ऊंचाई पर निर्भर करता है, न कि तय किए गए पथ पर।
5. किसी निश्चित ऊंचाई से नीचे आने के बाद, घुमावदार रैंप पर लुढ़काए जाने पर गेंद अपनी मूल ऊंचाई तक क्यों नहीं पहुंच पाती है?
   • उत्तर: यदि गेंद पर घर्षण जैसे गैर-संरक्षी बल कार्य कर रहे हैं, तो वे गति के विरुद्ध कार्य करेंगे, जिससे गेंद की कुछ यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा जैसे अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाएगी। परिणामस्वरूप, गेंद के पास अपनी मूल ऊंचाई तक पहुंचने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं हो सकती है।
6. यदि दो अलग-अलग आकार की वस्तुएँ (जैसे, एक गोला और एक घन) एक ही ऊँचाई से बिना लुढ़के एक घुमावदार ढलान पर फिसलती हैं, तो क्या नीचे पहुँचने पर उनकी गति समान होगी? क्यों?
   • उत्तर: हाँ, तल पर उनकी गति समान होगी। यदि कोई लुढ़कन या घर्षण न हो, तो उनकी गति निर्धारित करने वाला एकमात्र कारक प्रारंभिक ऊँचाई पर आधारित ऊर्जा संरक्षण का नियम है, न कि उनका आकार।
7. किसी सतह की वक्रता उस पर गतिमान वस्तु पर लगने वाले अभिलंब बल को कैसे प्रभावित करती है?
   • उत्तर: वक्रता के कारण वस्तु की गति के साथ अभिलंब बल की दिशा बदल जाती है। अवतल सतह (जैसे कटोरे का भीतरी भाग) पर, वक्र गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल के कारण तल पर अभिलंब बल अधिक होता है। इसके विपरीत, उत्तल सतह पर, अभिलंब बल सबसे ऊपरी बिंदु पर कम हो सकता है या शून्य भी हो सकता है (वस्तु सतह को छोड़ देती है)।
8. किसी वक्रित सतह पर यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण में वक्रता त्रिज्या की क्या भूमिका होती है?
   • उत्तर: वक्रता की त्रिज्या स्वयं यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को सीधे तौर पर प्रभावित नहीं करती है। हालांकि, यह अभिलंब बल को प्रभावित कर सकती है और यदि घर्षण मौजूद हो, तो गैर-संरक्षी बलों के कारण होने वाली ऊर्जा हानि की मात्रा को भी प्रभावित कर सकती है।
9. यदि किसी ट्रैक के बीच में एक गड्ढा हो (जैसे कि यू-आकार का वक्र), तो गड्ढे से गुजरते हुए और दूसरी तरफ ऊपर चढ़ते समय किसी वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?
   • उत्तर: जब वस्तु गड्ढे में प्रवेश करती है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है और गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। जब वह दूसरी तरफ ऊपर की ओर बढ़ती है, तो उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है और स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। यदि केवल संरक्षी बल ही कार्य करते हैं, तो गति के दौरान कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
10. क्या किसी वस्तु में वक्र सतह पर गति करते समय स्थानांतरीय और घूर्णी दोनों प्रकार की गतिज ऊर्जा हो सकती है?

• उत्तर: हां, यदि गेंद जैसी कोई वस्तु (बिना फिसले) किसी वक्र सतह पर लुढ़कती है, तो उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण उसमें स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और अपनी धुरी के चारों ओर घूमने के कारण घूर्णी गतिज ऊर्जा होगी।