कोनेदार गति

कोनेदार गति

घूर्णी गति की वह मात्रा, जो रेखीय गति में द्रव्यमान (m) के समतुल्य होती है, जड़त्व आघूर्ण (I) कहलाती है। घूर्णी गति की वह मात्रा, जो रेखीय गति में वेग (v) के समतुल्य होती है, कोणीय वेग (ω) कहलाती है। इस प्रकार, घूर्णनशील वस्तु का कोणीय संवेग होता है, जिसकी गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है:

L = I ω

L = कोणीय संवेग (किग्रा. मीटर² ^/ सेकंड), I = जड़त्व आघूर्ण (किग्रा. मीटर² ⁾ , ω = कोणीय वेग (रेडियन/सेकंड)

कोणीय संवेग की नमूना समस्याएं

नमूना समस्या 1.

0.5 ग्राम द्रव्यमान वाला एक कण 2 रेडियन/सेकंड के स्थिर कोणीय वेग से वृत्त में गति करता है। यदि कण के पथ की त्रिज्या 10 सेमी है, तो कण का कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

उपाय:

कण का जड़त्व आघूर्ण:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

कण की कोणीय गति:

= 2 rad/s

कण का कोणीय संवेग:

L = (0.5 x 10⁻⁵ ^kg⁻² m⁻² ⁾ (2 रेडियन/सेकंड) = 1 x 10⁻⁵ ^kg⁻² m⁻² ^/ सेकंड

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम यह कहता है कि यदि किसी घूर्णनशील कठोर पिंड पर लगने वाले बल का परिणामी आघूर्ण शून्य है, तो घूर्णनशील कठोर पिंड का कोणीय संवेग सदा स्थिर रहता है। कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम को न्यूटन के द्वितीय कोणीय संवेग नियम के समीकरण में संशोधन करके गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है। न्यूटन के द्वितीय कोणीय संवेग नियम का समीकरण इस प्रकार है:

यदि परिणामी बल आघूर्ण शून्य है, तो उपरोक्त समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

I _t = अंतिम जड़त्व आघूर्ण, I _o = प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण, ω _t = अंतिम कोणीय वेग, ω _o = प्रारंभिक कोणीय वेग, L _t = अंतिम कोणीय संवेग, L _o = प्रारंभिक कोणीय संवेग।

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम से संबंधित उदाहरण प्रश्न

नमूना समस्या 1.

एक समरूप ठोस बेलनाकार डिस्क प्रारंभ में अपनी अक्ष पर 4 रेडियन/सेकंड की गति से घूम रही है। डिस्क का द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 1 किलोग्राम और 0.5 मीटर है। यदि प्लेट के ऊपर एक वलय रखा जाए जिसका द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 0.2 किलोग्राम और 0.1 मीटर हो और वलय का केंद्र...

डिस्क के केंद्र के ठीक ऊपर, डिस्क और रिंग एक साथ कोणीय वेग से घूमेंगे...

उपाय:

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

वलय का जड़त्व आघूर्ण: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

प्रारंभिक कोणीय संवेग (L ₁ ) = अंतिम कोणीय संवेग (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 रेडियन/सेकंड

वैचारिक प्रश्न और उत्तर

1. कोणीय संवेग क्या है?
   उत्तर: कोणीय संवेग किसी वस्तु के द्रव्यमान और आकार को ध्यान में रखते हुए उसके घूर्णन की मात्रा का माप है। यह रेखीय संवेग का घूर्णी अनुरूप है।
2. कोणीय संवेग को गणितीय रूप से कैसे निर्धारित किया जाता है?
   उत्तर: कोणीय संवेग (L) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $L=r\times p$, जहां $r$ यह घूर्णन अक्ष से अनुप्रयोग बिंदु तक का स्थिति सदिश है, और $p$ यह रेखीय संवेग है।
3. कोणीय संवेग एक अदिश राशि है या सदिश राशि?
   उत्तर: कोणीय संवेग एक सदिश राशि है।
4. एसआई प्रणाली में कोणीय संवेग की इकाई क्या है?
   उत्तर: एसआई प्रणाली में कोणीय संवेग की इकाई किलोग्राम-मीटर वर्ग प्रति सेकंड (kg·m²) है।²/ S)।
5. कोणीय संवेग कैसे संरक्षित रहता है?
   उत्तर: बाह्य टॉर्क की अनुपस्थिति में एक बंद प्रणाली में, कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
6. कोणीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत क्या है?
   उत्तर: इस सिद्धांत के अनुसार, किसी बंद प्रणाली का कुल कोणीय संवेग तब तक स्थिर रहता है जब तक उस पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
7. फिगर स्केटर के घूमने का कोणीय संवेग से क्या संबंध है?
   उत्तर: जब कोई फिगर स्केटर स्पिन करते समय अपने हाथों और पैरों को अपने शरीर के करीब खींचता है, तो इससे उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है, जिसके कारण वह और तेज़ी से घूमने लगता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण का उदाहरण है।
8. टॉर्क और कोणीय संवेग के बीच क्या संबंध है?
   उत्तर: टॉर्क ($\tau$कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर है। गणितीय रूप से, τ=dएल/सेकेंड​.
9. क्या किसी वस्तु में कोणीय वेग के बिना कोणीय संवेग होना संभव है?
   उत्तर: नहीं, यदि किसी वस्तु में कोणीय संवेग है, तो उसमें कोणीय वेग भी होगा। कोणीय संवेग का परिमाण और दिशा दोनों ही जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग पर निर्भर करते हैं।
10. जड़त्व आघूर्ण कोणीय संवेग को कैसे प्रभावित करता है?
    उत्तर: कोणीय संवेग (L) जड़त्व आघूर्ण (I) और कोणीय वेग (ω) का गुणनफल होता है। $L=I\omega$किसी दी गई कोणीय वेग के लिए जड़त्व आघूर्ण में वृद्धि से कोणीय संवेग में वृद्धि होगी।
11. क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन और कक्षीय कोणीय संवेग के बीच क्या अंतर है?
    उत्तर: स्पिन कोणीय संवेग इलेक्ट्रॉनों जैसे कणों का एक आंतरिक गुण है और यह अंतरिक्ष में गति से उत्पन्न नहीं होता है। दूसरी ओर, कक्षीय कोणीय संवेग किसी केंद्रीय बिंदु के चारों ओर कण की गति से उत्पन्न होता है।
12. ग्रहों के तंत्र के निर्माण में कोणीय संवेग की क्या भूमिका होती है?
    उत्तर: जब एक आणविक बादल सिकुड़कर तारे और ग्रह बनाता है, तो कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के कारण पदार्थ नवजात तारे के चारों ओर एक डिस्क के रूप में चपटा हो जाता है, जिससे ग्रह बन सकते हैं।
13. एक जाइरोस्कोप अंतरिक्ष में अपनी स्थिति को कैसे बनाए रखता है?
    उत्तर: एक घूमते हुए जाइरोस्कोप में कोणीय संवेग होता है। जब कोई बाहरी बल इसकी दिशा बदलने का प्रयास करता है, तो कोणीय संवेग के संरक्षण के कारण जाइरोस्कोप पूर्वक्रमण करता है, या अपनी घूर्णन धुरी को लगाए गए बल की दिशा के लंबवत दिशा में बदलता है।
14. लट्टू के घूमने में अग्रगमन किस कारण होता है?
    उत्तर: घूमते हुए लट्टू में होने वाली गति गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होती है, जो लट्टू के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो उसके धुरी बिंदु से थोड़ा हटकर स्थित होता है। इस बल के परिणामस्वरूप लट्टू के कोणीय संवेग की दिशा में परिवर्तन होता है, जिससे वह घूमने लगता है।
15. ध्रुवों पर तारे चपटे क्यों हो जाते हैं?
    उत्तर: जैसे-जैसे तारे घूमते हैं, उन पर एक अपकेंद्रीय बल लगता है जो पदार्थ को बाहर की ओर धकेलता है। यह बल ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक प्रबल होता है, जिसके कारण उनका आकार चपटा हो जाता है।
16. कोणीय संवेग का केप्लर के द्वितीय नियम से क्या संबंध है?
    उत्तर: केप्लर का द्वितीय नियम कहता है कि किसी ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाला रेखाखंड समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण का परिणाम है।
17. बिल्ली गिरने पर हमेशा अपने पैरों पर ही क्यों गिरती है?
    उत्तर: बिल्लियाँ कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करती हैं। अपने शरीर को घुमाकर और हवा में अपने जड़त्व आघूर्ण को बदलकर, वे संरक्षण नियमों का उल्लंघन किए बिना अपने पैरों पर उतरने के लिए खुद को पुनः उन्मुख कर सकती हैं।
18. इलेक्ट्रॉनों में चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का क्या संबंध है?
    उत्तर: इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण उसके स्पिन और कक्षीय कोणीय संवेग से उत्पन्न होता है। चुंबकीय आघूर्ण इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के समानुपाती होता है।
19. ध्रुवीय निर्देशांकों के संदर्भ में कोणीय संवेग क्या है?
    उत्तर: ध्रुवीय निर्देशांकों में, कोणीय संवेग $L$ एक बिंदु द्रव्यमान के लिए इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $L=mrv$, जहां $m$ द्रव्यमान है, $r$ यह त्रिज्या दूरी है, और $v$ यह स्पर्शरेखीय वेग है।
20. जब दो वस्तुएं आपस में टकराती हैं तो एक बंद प्रणाली के कोणीय संवेग पर क्या प्रभाव पड़ता है?
    उत्तर: एक बंद प्रणाली में जहां दो वस्तुएं टकराती हैं, टक्कर से पहले का कुल कोणीय संवेग टक्कर के बाद के कुल कोणीय संवेग के बराबर होता है, यह मानते हुए कि प्रणाली पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।

समस्याएं और समाधान

1. समस्या: एक बिंदु द्रव्यमान m = 2 kg, r = 4 m त्रिज्या वाले वृत्त में v = 3 m/s के वेग से गति करता है। वृत्त के केंद्र के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: $लंबाई=मीटर\times रूट\times वेग$ = 2 × 4 × 3 = 24 किलोग्राम मीटर ^/ सेकंड

2. समस्या: 3 किलोग्राम द्रव्यमान और 0.5 मीटर त्रिज्या वाला एक ठोस गोला अपने व्यास के चारों ओर कोणीय वेग ω = 2 रेडियन/सेकंड से घूम रहा है। इसका कोणीय संवेग क्या है?

हल: ठोस गोले के लिए, I = 2/5 मीटर ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. समस्या: 3 किलोग्राम द्रव्यमान का एक बिंदु सीधी रेखा में 4 मीटर/सेकंड की गति से गति कर रहा है। गति की रेखा से 5 मीटर दूर स्थित एक बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग क्या होगा?

उपाय:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. समस्या: 5 किलोग्राम द्रव्यमान और 3 मीटर त्रिज्या वाली एक डिस्क 2 रेडियन/सेकंड की कोणीय गति से घूम रही है। इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: एक डिस्क के लिए, I = 1/2 मीटर ^/ मीटर²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. समस्या: 4 मीटर लंबाई और 2 किलोग्राम द्रव्यमान की एक छड़ एक सिरे के चारों ओर 3 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूमती है। इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: एक सिरे से छड़ के लिए, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. समस्या: यदि कोई घूर्णनशील पिंड अपने कोणीय वेग को दोगुना कर दे तो कोणीय संवेग में क्या परिवर्तन होगा?

हल: कोणीय संवेग (L) और कोणीय वेग (ω) के बीच संबंध $L=I\times \omega$ है । यदि ω को दोगुना कर दिया जाए, तो कोणीय संवेग भी दोगुना हो जाएगा।

7. समस्या: यदि गतिमान कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या को वेग को स्थिर रखते हुए दोगुना कर दिया जाए, तो कोणीय संवेग में किस कारक से परिवर्तन होगा?

हल: कोणीय संवेग, $L=m\times r\times v$ । यदि r दोगुना हो जाता है, तो L भी दोगुना हो जाएगा।

8. समस्या: 30 किलोग्राम द्रव्यमान का एक बच्चा एक स्थिर झूले के किनारे पर खड़ा है। झूले की त्रिज्या 2 मीटर है। यदि बच्चा जमीन के सापेक्ष 2 मीटर/सेकंड की गति से किनारे पर दौड़ना शुरू करता है, तो केंद्र के सापेक्ष बच्चे का कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: $लंबाई=मीटर\times रूट\times वेग$ = 30 × 2 × 2 = 120 किलोग्राम मीटर ^/ सेकंड

9. समस्या: 6 किलोग्राम द्रव्यमान और 2 मीटर त्रिज्या वाला एक सिलेंडर अपनी केंद्रीय अक्ष के चारों ओर 5 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रहा है। इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: एक बेलन के लिए, I = 1/2 मीटर ^/ मीटर²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg.m ² /s

10. समस्या: यदि किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण आधा कर दिया जाए और उसका कोणीय वेग तिगुना कर दिया जाए, तो उसका नया कोणीय संवेग क्या होगा?

हल: दिया गया है $L=I\times \omega$ , यदि $I$ को आधा कर दिया जाए और $\omega$ को तिगुना कर दिया जाए, तो नया $L$ मूल L का 1/2 × 3 = 1.5 गुना होगा ।

11. समस्या: 2 किलोग्राम द्रव्यमान और 1 मीटर त्रिज्या वाला एक घेरा 4 रेडियन/सेकंड की कोणीय गति से घूम रहा है। इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: एक घेरे के लिए, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m ² /s

12. समस्या: एक पंखे के ब्लेड की लंबाई 0.5 मीटर और कुल द्रव्यमान 1 किलोग्राम है। यदि यह 10 रेडियन/सेकंड की कोणीय गति से घूमता है, तो इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: यह मानते हुए कि पंखे के ब्लेड एक सिरे के चारों ओर घूमने वाली छड़ों की तरह हैं, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg.m ² /s

13. समस्या: पृथ्वी के घूर्णन के कारण उसके अक्ष $के$ सापेक्ष कोणीय संवेग की गणना कीजिए। दिया गया है: पृथ्वी का द्रव्यमान = 5.972× ^10²⁴ kg , त्रिज्या $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵\text{rad/}$ s ^।

हल: पृथ्वी को ठोस गोला मानते हुए, I = 2/5 मीटर ^/ मीटर²

$एल=आई\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

एल ≈ 7.07 × 1 0 ³³ किग्रा.मी ² / से

14. समस्या: एक बच्चा घूमते हुए चबूतरे के केंद्र की ओर बढ़ता है। क्या कोणीय संवेग बढ़ता है, घटता है या स्थिर रहता है?

हल: कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। जैसे-जैसे बच्चा केंद्र की ओर बढ़ता है, जड़त्व आघूर्ण घटता जाता है। कोणीय संवेग को संरक्षित रखने के लिए, कोणीय वेग बढ़ता है। इस प्रकार, कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

15. समस्या: यदि किसी घूर्णनशील पिंड की गतिज ऊर्जा दोगुनी कर दी जाए, तो उसके कोणीय संवेग में किस कारक से परिवर्तन होगा?

हल: गतिज ऊर्जा K = 1/2 ​I ω ² और कोणीय संवेग $L=I\omega$ । यदि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है और $I$ स्थिर रहता है, तो ω ² भी दोगुना हो जाता है। इसका अर्थ है कि $\omega$ में √2 की वृद्धि होती है । इस$प्रकार,\; L$ में भी √2 की वृद्धि होती है ।

16. समस्या: 0.3 मीटर त्रिज्या वाले एक साइकिल के पहिये के रिम का द्रव्यमान 1.5 किलोग्राम है। यदि यह 5 रेडियन/सेकंड की कोणीय गति से घूमता है, तो इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

हल: रिम को एक घेरा मानते हुए, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

एल = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 किग्रा.मी ² / से

17. समस्या: एक आइस स्केटर घूमते समय अपनी बाहों को अंदर की ओर खींचती है। उसके कोणीय संवेग पर क्या प्रभाव पड़ता है?

समाधान: स्केटर का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। अपनी बाहों को अंदर खींचने से उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है, और इस प्रकार वह अपने कोणीय संवेग को संरक्षित रखने के लिए तेज़ी से घूमती है (कोणीय वेग बढ़ जाता है)।

18. समस्या: एक फ्लाईव्हील $\text{का}$ जड़त्व आघूर्ण 0.2 kg.m² है ^और यह ¹⁰ रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रहा है। इसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

उपाय:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. समस्या: एक प्रणाली पर शून्य का कुल बाह्य टॉर्क कार्य कर रहा है। आप इसके कोणीय संवेग के बारे में क्या कह सकते हैं?

हल: यदि कुल बाह्य टॉर्क शून्य है, तो कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रणाली का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

20. समस्या: एक बिंदु द्रव्यमान m = 5 kg, बिंदु P से जुड़ने वाली रेखा के लंबवत v = 3 m/s के वेग से गति करता है। यदि बिंदु P से दूरी 4 m है, तो बिंदु P के सापेक्ष उसका कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।

उपाय:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

एल = 5 × 4 × 3 = 60 किग्रा.मी ² / से