निष्क्रियता के पल

1. कण का जड़त्व आघूर्ण

एक घूर्णनशील कण की समीक्षा करें। m द्रव्यमान वाले कण पर बल F लगाया जाता है जिससे वह अक्ष O के चारों ओर घूर्णन करता है। कण घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित है। प्रारंभ में, कण विराम अवस्था में है (v = 0)। बल F द्वारा गतिमान होने के बाद, कण एक निश्चित गति से गति करता है जिससे उसमें स्पर्शरेखीय त्वरण उत्पन्न होता है। बल (F), द्रव्यमान (m) और कणों के स्पर्शरेखीय त्वरण के बीच संबंध को समीकरण 3 द्वारा व्यक्त किया जाता है:

F = ma _tan (समीकरण 3)

कण इस प्रकार घूमते हैं कि उनमें कोणीय त्वरण उत्पन्न होता है। स्पर्शरेखीय त्वरण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को समीकरण 4 द्वारा व्यक्त किया जाता है:

a _tan = r α (समीकरण 4)

समीकरण 3 में a के स्थान पर समीकरण 4 में a का मान रखें:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (समीकरण 5)

यहां r F बल का आघूर्ण है और mr² ^कण का जड़त्व आघूर्ण है। समीकरण 5 घूर्णनशील कणों के बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को दर्शाता है। समीकरण 5 घूर्णनशील कणों के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम का समीकरण है।

किसी कण का जड़त्व आघूर्ण कण के द्रव्यमान (m) और घूर्णन अक्ष के साथ कणों के बीच की दूरी के वर्ग (r²) का गुणनफल होता ^है ।

I = mr ² (समीकरण 6)

I = कण का जड़त्व आघूर्ण, m = कण का द्रव्यमान, r = कण और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी। कण का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए समीकरण 6 का उपयोग किया जाता है।

3.2 कण के जड़त्व आघूर्ण से संबंधित नमूना समस्याएं

नमूना समस्या 1.

2 किलोग्राम द्रव्यमान वाले एक कण को ​​0.5 मीटर लंबी रस्सी से बांधकर घुमाया गया। घूर्णन के दौरान कण का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

उपाय:

मैं = श्रीमान ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

नमूना समस्या 2.

दो कण, जिनका द्रव्यमान क्रमशः 2 किलोग्राम और 4 किलोग्राम है, एक हल्के तार से जुड़े हैं, जहाँ तार की लंबाई 2 मीटर है। तार के द्रव्यमान को अनदेखा करें। यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं, तो दोनों कणों का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए:

a) घूर्णन अक्ष दोनों कणों के बीच स्थित है

उपाय:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) घूर्णन अक्ष 2 किलोग्राम द्रव्यमान वाले कण से 0.5 मीटर की दूरी पर स्थित है।

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

(c) घूर्णन अक्ष 4 किलोग्राम द्रव्यमान वाले कण से 0.5 मीटर की दूरी पर स्थित है।

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

उपरोक्त गणनाओं के परिणामों के आधार पर, जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष की स्थिति से अत्यधिक प्रभावित होता है। यद्यपि आकार और माप समान हों, घूर्णन अक्ष की स्थिति भिन्न होने पर जड़त्व आघूर्ण भी भिन्न होता है।

घूर्णन अक्ष के निकट स्थित कणों का जड़त्व आघूर्ण कम होता है, जबकि घूर्णन अक्ष से दूर स्थित कणों का जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है। यदि हम यह मान लें कि ऊपर दिए गए दोनों कण कठोर वस्तुएँ हैं, तो प्रत्येक कण घूर्णन अक्ष के निकट स्थित होगा।

घूर्णन अक्ष से दूर स्थित कण के जड़त्व आघूर्ण की तुलना में इसका जड़त्व आघूर्ण कम होता है।

3.3 समरूप कठोर पिंड का जड़त्व आघूर्ण

कठोर वस्तुएँ अनेक कणों से मिलकर बनी होती हैं। किसी कठोर पिंड का जड़त्व आघूर्ण, उस वस्तु को बनाने वाले प्रत्येक कण के जड़त्व आघूर्णों का कुल योग होता है।

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² + M₂ r₂² + M₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

किसी कठोर वस्तु का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए, वस्तु के घूर्णन की स्थिति का अध्ययन करना आवश्यक है क्योंकि घूर्णन अक्ष की स्थिति वस्तु के जड़त्व आघूर्ण को प्रभावित करती है। प्रत्येक कण का जड़त्व आघूर्ण (I) कण के द्रव्यमान (m) और घूर्णन अक्ष से कण की दूरी (r²) के वर्ग पर निर्भर करता है ^। वस्तु का निर्माण करने वाले सभी कणों का द्रव्यमान वस्तु का द्रव्यमान होता है।

समस्या यह है कि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक कण की दूरी भिन्न-भिन्न होती है।

उंगलियों R और द्रव्यमान M वाले एक पतले वलय के जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में होने वाली कमी की समीक्षा करें।

यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित है, तो पतले वलय के सभी कण घूर्णन अक्ष से दूरी पर स्थित होते हैं। पतले वलय का जड़त्व आघूर्ण सभी कणों के जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है।

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + M₂ r₂² + M₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

सभी कणों का द्रव्यमान = पतली वलय का द्रव्यमान (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

पतली वलय का प्रत्येक कण घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित है, इस प्रकार कि r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

पतली वलय के जड़त्व आघूर्ण का समीकरण:

आई = एमआर ²

I = पतली वलय का जड़त्व आघूर्ण, M = पतली वलय का द्रव्यमान, R = पतली वलय की त्रिज्या।

यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित न हो तो क्या होगा? यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित न हो, तो उपरोक्त विधि का उपयोग करके पतले वलय के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र नहीं निकाला जा सकता है।

क्योंकि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक कण की दूरी भिन्न होती है। इस विषय में इस प्रकार की समस्या के लिए जड़त्व आघूर्ण का सूत्र निकालने पर चर्चा नहीं की गई है।

कुछ कठोर वस्तुओं के लिए जड़त्व आघूर्ण का सूत्र

3.4 समरूप कठोर पिंड के जड़त्व आघूर्ण की नमूना समस्या

उदाहरण समस्या 1:

छड़ बेलन AB का द्रव्यमान B के अक्ष पर घुमाने पर 3 kg होता है।

यदि जड़त्व आघूर्ण 27 kg m² है ^, तो क्या होगा यदि

C के माध्यम से घुमाया गया?

उपाय:

उपाय:

समरूप ठोस छड़ के लिए जड़त्व आघूर्ण का सूत्र (घूर्णन अक्ष छड़ के केंद्र में स्थित है):

I = 1/12 एमएल ²

27 = (1/12) एमएल ²

(27)(12) = एमएल ²

324 = एमएल ²

समरूप ठोस छड़ के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र (छड़ के किनारे पर स्थित घूर्णन अक्ष):

I = 1/3 एमएल ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²