घटकों का उपयोग करके वैक्टरों को जोड़ना – समस्याएं और समाधान

घटकों का उपयोग करके वैक्टरों को जोड़ना – समस्याएं और समाधान

1. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए तीन सदिश।

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

परिणामी सदिश क्या है?

ज्ञात :

V ₁ = 30, V ₁ और x अक्ष के बीच का कोण = 30 ^°

V ₂ = 30, V ₂ और x अक्ष के बीच का कोण = 30 ^°

V ₃ = 40, V ₃ और x अक्ष के बीच का कोण = 0 ^°

वांछित : परिणामी सदिश

समाधान:

सदिशों के घटक :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

परिणामी सदिशों के घटक:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

वी _वाई = वी _1वाई + वी _2वाई + वी _3वाई = 15 + 15 = 30

परिणामी सदिश :

2. दो बल एक दूसरे के लंबवत हैं, F ₁ = 12 N और F ₂ = 5 N। दोनों बलों का परिणामी क्या है?

ज्ञात :

बल 1 (F ₁ ) = 12 न्यूटन

बल 2 (F ₂ ) = 5 न्यूटन

वांछित : परिणामी सदिश ( ΣF)

समाधान:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 न्यूटन

3. तीन सदिश,

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

परिणामी सदिशों का निर्धारण कीजिए।

ज्ञात :

v ₁ = 30, ऋणात्मक x अक्ष के सापेक्ष 30 ^{° का कोण} बनाता है

v ₂ = 30, धनात्मक x अक्ष के सापेक्ष 30 ^° बनाता है

v ₃ = 40, धनात्मक x अक्ष के सापेक्ष 0 ^° बनाता है

वांछित : परिणामी सदिश

समाधान:

सदिशों के घटक:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर ) के अनुदिश इंगित करता है )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है। )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है। )

वी _3वाई = वी ₃ पाप 0 ^ओ = (40)(0) = 0

परिणामी सदिशों के घटक:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

परिणामी सदिश:

4. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए तीन सदिशों का परिणामी क्या है?

ज्ञात :

F₁ = 3 न्यूटन, बनाता है 60^o धनात्मक x अक्ष के सापेक्ष

F ₂ = 3 न्यूटन, ऋणात्मक x अक्ष के सापेक्ष 0 ^{° का कोण} बनाता है ।

F ₃ = 6 न्यूटन , ऋणात्मक y अक्ष के सापेक्ष 60 ^{° का कोण बनाता है।}

वांछित: परिणामी सदिश

समाधान:

सदिशों के घटक:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर ) के अनुदिश इंगित करता है )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है )

एफ _2वाई = एफ ₂ पाप 0 ^ओ = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर ) के अनुदिश इंगित करता है )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक y अक्ष ( नीचे की ओर) के अनुदिश इंगित करता है )

परिणामी सदिशों के घटक:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

परिणामी सदिश:

5. दो बल, F ₁ = 15 N और F _{2 = 9 N} हैं । दोनों सदिशों के बीच का कोण 60° है। इन सदिशों का परिणामी क्या है?

वांछित :

बल 1 (F ₁ ) = 15 न्यूटन

बल 2 (F ₂ ) = 9 न्यूटन

कोण ( θ) = 60 ^°

वांछित: परिणामी सदिश

समाधान:

6. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए तीन सदिशों का परिणामी क्या है?

ज्ञात :

F₁ = 20 न्यूटन, F के बीच का कोण₁ और x अक्ष = 0

F ₂ = 20 न्यूटन, F ₂ और x अक्ष के बीच का कोण = 60

F ₃ = 24 न्यूटन, F ₃ और x अक्ष के बीच का कोण = 60

वांछित: परिणामी सदिश

समाधान:

सदिशों के घटक:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक x अक्ष (दाईं ओर ) के अनुदिश इंगित करता है।

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (ऊपर की ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N ऋणात्मक है क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक y अक्ष ( नीचे की ओर) के अनुदिश इंगित करता है।

परिणामी सदिशों के घटक:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

परिणामी सदिश: