क्रॉस गुणन

दो सदिशों, जैसे कि सदिश A और B, का क्रॉस गुणनफल A x B ( A क्रॉस B ) के रूप में लिखा जाता है । क्रॉस गुणनफल को सदिश गुणनफल इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस गुणनफल से एक सदिश राशि प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, वेक्टर A और वेक्टर B नीचे दिए गए चित्र की तरह दिखते हैं।

वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट को परिभाषित करने के लिए A सज्जन B (A x B), हम सदिश बनाते हैं A सज्जन B जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है, और साथ ही सचित्र रूप में भी दर्शाया गया है। वेक्टर घटक B, A पर लंबवत है, जो कि B sin थीटा के बराबर है।

इस प्रकार, हम सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण को परिभाषित कर सकते हैं। A सज्जन B (A x B) सदिश के परिमाण के गुणनफल के रूप में A वेक्टर घटकों के साथ B सदिश के लंबवत A.

यदि हम A x B को B x A में बदल दें तो क्या होगा?

सबसे पहले, हम सदिश B और A खींचते हैं और सदिश A के उन घटकों को खींचते हैं जो B के लंबवत हैं।

इस आकृति के आधार पर, हम वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट को परिभाषित कर सकते हैं। B सज्जन A (B x A) सदिश के परिमाण के गुणनफल के रूप में B वेक्टर घटकों के साथ A सदिश के लंबवत Bगणितीय रूप से लिखा गया:

क्रॉस गुणन की दिशा A x B

क्रॉस प्रोडक्ट एक वेक्टर प्रोडक्ट है, इसलिए परिणाम में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। वेक्टर प्रोडक्ट का परिमाण ऊपर ज्ञात किया जा चुका है; अब हमें इसकी दिशा ज्ञात करनी है। A x B की दिशा ज्ञात करने के लिए , हम पहले वेक्टर A और B को नीचे दिखाए अनुसार बनाते हैं। हम इन दोनों वेक्टरों को एक समतल पर रखते हैं।

क्रॉस गुणन A x B को उस समतल के लंबवत सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें सदिश स्थित होता है। A सज्जन B स्थित है। आकार समान है। AB पाप teta. अगर C = A x B आटा C = AB पाप teta

सदिश C की दिशा उस समतल के लंबवत है जिसमें सदिश A और B स्थित हैं। हम C की दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम अपनी उंगलियों को वामावर्त दिशा में रखें, तो C की दिशा अंगूठे के ऊपर की ओर इंगित करने की दिशा के समान होगी।

क्रॉस गुणन की दिशा B x A

दिशा B x A निर्धारित करने के लिए , सबसे पहले हम नीचे दिखाए अनुसार सदिश B और A बनाते हैं। हम इन दोनों सदिशों को एक समतल में रखते हैं।

जिका C = B x A आटा C = BA sin teta.

सदिश C की दिशा उस समतल के लंबवत है जिसमें सदिश B और A स्थित हैं। हम C की दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम अपनी उंगलियों को दक्षिणावर्त दिशा में रखें, तो C की दिशा वही होगी जो अंगूठे की दिशा नीचे की ओर इंगित करने पर होती है।

A x B असमान B x Aक्रॉस प्रोडक्ट से एक वेक्टर राशि प्राप्त होती है, जिसमें परिमाण के अलावा दिशा भी होती है। ऊपर दिए गए बूंद में, दिशा A x B विपरीत दिशा में B x A.

क्रॉस मल्टीप्लिकेशन के बारे में कुछ बातें जो आपको जानना आवश्यक है:

1. क्रॉस गुणन प्रति-विनिमयशीलता का नियम है।

A x B = – B x A

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि A x B पर B की दिशा, B x A पर B की दिशा के विपरीत है ।

2. यदि दो सदिश एक दूसरे के लंबवत हैं , तो बनने वाला कोण 90 ^° होता है । sin 90 ^{° = 1. अतः, सदिश} A और B के बीच क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण निम्नानुसार होगा:

ए एक्स बी = एबी सिन थीटा = एबी सिन 90 ^ओ = एबी

B x A = BA sin थीटा = BA sin 90 ^° = BA

3. यदि दोनों सदिश एक ही दिशा में हों, तो बना कोण 0 ^° होता है ।

Sin 0 ^{o = 0. अतः, सदिश} A और B के बीच क्रॉस उत्पाद का मान इस प्रकार होगा।

ए एक्स बी = एबी सिन थीटा = एबी सिन 0 ^ओ = 0

B x A = BA sin थीटा = BA sin 0 ^o = 0