दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद, उदाहरण के लिए सदिश A सज्जन B लिखा हुआ A x B (A सिलांग Bक्रॉस गुणन को सदिश गुणन कहा जाता है क्योंकि इस गुणन का परिणाम एक सदिश राशि होता है।
उदाहरण के लिए, वेक्टर A और वेक्टर B नीचे दिए गए चित्र की तरह दिखते हैं।
वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट को परिभाषित करने के लिए A सज्जन B (A x B), हम सदिश बनाते हैं A सज्जन B जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है, और साथ ही सचित्र रूप में भी दर्शाया गया है। वेक्टर घटक B, A पर लंबवत है, जो कि B sin थीटा के बराबर है।
इस प्रकार, हम सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण को परिभाषित कर सकते हैं। A सज्जन B (A x B) सदिश के परिमाण के गुणनफल के रूप में A वेक्टर घटकों के साथ B सदिश के लंबवत A.
क्या हो अगर ए x बी हम वापस पहले जैसे हो गए हैं B x A ?
सबसे पहले, आइए एक सदिश रेखा खींचते हैं। B सज्जन A और वेक्टर घटक A जो कि B के लंबवत है
इस आकृति के आधार पर, हम वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट को परिभाषित कर सकते हैं। B सज्जन A (B x A) सदिश के परिमाण के गुणनफल के रूप में B वेक्टर घटकों के साथ A सदिश के लंबवत Bगणितीय रूप से लिखा गया:
क्रॉस गुणन की दिशा A x B
क्रॉस प्रोडक्ट एक वेक्टर प्रोडक्ट है, इसलिए इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। वेक्टर प्रोडक्ट का परिमाण ऊपर ज्ञात किया जा चुका है; अब इसकी दिशा ज्ञात कीजिए। दिशा ज्ञात करने के लिए ए x बीसबसे पहले, हम नीचे दिखाए अनुसार सदिश A और B बनाते हैं। हम इन दोनों सदिशों को एक समतल में रखते हैं।
क्रॉस गुणन A x B को उस समतल के लंबवत सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें सदिश स्थित होता है। A सज्जन B स्थित है। आकार समान है। AB पाप teta. अगर C = A x B आटा C = AB पाप teta
दिशा C उस समतल के लंबवत जिसमें सदिश A सज्जन B स्थित है। दिशा निर्धारित करने के लिए हम दाहिने हाथ के नियम का उपयोग कर सकते हैं। Cयदि हम अपनी उंगलियों को दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा के विपरीत दिशा में रखें, तो दिशा C जिस दिशा में अंगूठा ऊपर की ओर इशारा कर रहा हो, उसी दिशा में।
क्रॉस गुणन की दिशा B x A
दिशा निर्धारित करने के लिए बी x एसबसे पहले, हम एक सदिश बनाते हैं। B सज्जन A नीचे दिए गए चित्र की तरह। हम इन दोनों सदिशों को एक समतल में रखते हैं।
जिका C = B x A आटा C = BA sin teta.
C की दिशा उस समतल के लंबवत है जहाँ सदिश स्थित है। B सज्जन A स्थित है। दिशा निर्धारित करने के लिए हम दाहिने हाथ के नियम का उपयोग कर सकते हैं। Cयदि हम अपनी उंगलियों को हाथों के दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा के अनुरूप दिशा में रखें, तो दिशा C ठीक उसी तरह जैसे अंगूठा नीचे की ओर इशारा करता है।
A x B असमान B x Aक्रॉस प्रोडक्ट से एक वेक्टर राशि प्राप्त होती है, जिसमें परिमाण के अलावा दिशा भी होती है। ऊपर दिए गए बूंद में, दिशा A x B विपरीत दिशा में B x A.
क्रॉस मल्टीप्लिकेशन के बारे में कुछ बातें जो आपको जानना आवश्यक है:
1. क्रॉस गुणन प्रति-विनिमयशीलता का नियम है।
A x B = - B x A
नकारात्मक चिह्न दिशा को इंगित करता है B पाडा A x B विपरीत दिशा B पाडा B x A.
2. यदि दोनों सदिश परस्पर अनन्य हों सीधा तब बनने वाला कोण 90 डिग्री होता है।o. पाप १३o = 1. इस प्रकार, वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण A सज्जन B यह इस प्रकार दिखेगा:
A x B = AB पाप teta = AB पाप 90o = AB
B x A = BA पाप teta = BA पाप 90o = BA
3. यदि दोनों सदिश एक ही दिशा में हों, तो उनके बीच बनने वाला कोण 0 होता है।o.
पाप १३o = 0. इस प्रकार, वैक्टरों के बीच क्रॉस प्रोडक्ट का मान A सज्जन B यह इस प्रकार दिखाई देगा।
A x B = AB पाप थीटा = AB sin 0o = 0
B x A = BA पाप थीटा = BA sin 0o = 0
