परिपत्र गति

पहिएदार वाहनों, जनरेटर, चक्की, पंखे, लॉन मोवर, फूल छिड़कने वाले यंत्र आदि जैसे आधुनिक उपकरणों के कारण आज हमारा जीवन आसान और अधिक आरामदायक हो गया है। पहिएदार वाहन जैसे साइकिल, मोटरसाइकिल, कार और हवाई जहाज पहिए के बिना या पहिए न घूमने पर चल नहीं सकते। हेलीकॉप्टर या हवाई जहाज भी प्रोपेलर के बिना उड़ नहीं सकते। जहाज जनरेटर या प्रोपेलर के बिना चल नहीं सकते। रात में जनरेटर या बिजली संयंत्र के न चलने पर घर में घना अंधेरा छा जाता है और मनोरंजन का कोई साधन नहीं रहता। कई वस्तुएं प्रतिदिन वृत्ताकार गति करती हैं। यहां तक ​​कि बिना जाने भी, जिस पृथ्वी पर हम रहते हैं, रात में हमें रोशन करने वाला चंद्रमा, टेलीविजन, रेडियो, मोबाइल फोन और इंटरनेट प्रसारण के लिए विद्युत चुम्बकीय तरंगों को रिले करने वाले संचार उपग्रह जैसे कृत्रिम उपग्रह, हमेशा घूमते रहते हैं, यानी हर समय एक वृत्त में गति करते रहते हैं।

किसी वस्तु को वृत्ताकार गति में तब कहा जाता है जब उसका पथ वृत्ताकार हो। वृत्ताकार गति में भौतिक राशियों में कोणीय राशियाँ (वृत्ताकार गति की राशियाँ) और रेखीय राशियाँ (सरल रेखीय गति की राशियाँ) शामिल होती हैं। कोणीय राशियों में कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण शामिल हैं। रेखीय राशियाँ वे राशियाँ हैं जो सीधी गति में विस्थापन (दूरी), वेग (गति) और त्वरण के समान होती हैं। इसके विपरीत, वृत्ताकार गति की राशियों को आमतौर पर कोणीय राशियाँ कहा जाता है । वृत्ताकार गति में, रेखीय राशियाँ कोणीय राशियों से संबंधित होती हैं।

कोण की इकाइयों (डिग्री, रेडियन, चक्कर) को परिवर्तित करें

1. ¼ मोड़ = ….. ^o (डिग्री) ?
विचार-विमर्श
1 चक्कर = 360^o
½ चक्कर = 180^o
¼ मोड़ = 90^o

2. आधा चक्कर = …….. रेडियन?
विचार-विमर्श
1 चक्कर = 2 पाई रेडियन = 2(3,14) रेडियन = 6,28 रेडियन
½ चक्कर = पाई रेडियन = 3,14 रेडियन

3। 180^o (180 डिग्री) = ….. घूर्णन या क्रांति ?
विचार-विमर्श
360^o = 1 राउंड (1 क्रांति)
180^o = ½ मोड़ (1/2 क्रांति)

4। 90^o = ….. रेडियन ?
विचार-विमर्श
360^o = 2 पाई रेडियन = 2(3,14) रेडियन = 6,28 रेडियन
180^o पाई रेडियन = 3,14 रेडियन
90^o = ½ पाई रेडियन = ½ (3,14) = 1,57

5. 60 रेडियन = ….. घूर्णन?
विचार-विमर्श
6,28 रेडियन = 1 चक्कर
60 रेडियन / 6,28 = 9,55 चक्कर

6. 40 रेडियन = ….. ^o (डिग्री) ?
विचार-विमर्श
6,28 रेडियन = 360^o
40 रेडियन/6,28 = (6,37)(360^o) = 2292,99^o

कोणीय वेग

समस्याओं का उदाहरण.
1. पहिया दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है, जिससे 180 डिग्री का कोण बनता है।^o 2 सेकंड और 90 के लिए^o एक सेकंड के लिए औसत कोणीय वेग का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए!
विचार-विमर्श
बड़ा = 9^o/सेकंड = …. परिक्रमण/सेकंड = ….. रेडियन/सेकंड ?
दिशा = दक्षिणावर्त दिशा।

2. पहिया दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है, जिससे 360 डिग्री का कोण बनता है।^o 4 सेकंड के लिए, फिर पहिया 180 डिग्री घूमता है।^o 2 सेकंड के लिए वामावर्त दिशा में। कितने औसत कोणीय वेग पहिया ?
विचार-विमर्श
बड़ा = 3^o/सेकंड = …. परिक्रमण/सेकंड = ….. रेडियन/सेकंड ?
दिशा = दक्षिणावर्त दिशा।

तात्कालिक कोणीय वेग
तात्कालिक कोणीय वेग का परिमाण = बहुत कम समय अंतराल के दौरान तय किए गए कोणीय वेग का परिमाण।
सीधी गति में या रेखीय गति में, उच्च गति कहा जा सकता है रफ़्तार करीना बड़े विस्थापन मूल्य में बराबर जराक यदि यह बहुत छोटा हो। वृत्ताकार गति में, उच्च कोणीय वेग कहा जा सकता है कोणीय वेग करीना बड़ा कोणीय विस्थापन मूल्य में बराबर जराक कोना यदि यह बहुत छोटा है।

औसत कोणीय त्वरण
समस्याओं का उदाहरण.
1. एक पवनचक्की जो पहले कुछ क्षण के लिए स्थिर रहती है, फिर हवा के कारण घूमने लगती है। 2 सेकंड के बाद, कोणीय वेग बढ़कर 90° हो जाता है।^oकितने? औसत कोणीय त्वरण पवनचक्की?
विचार-विमर्श
औसत पर, उच्च कोणीय वेग पवनचक्कियों की संख्या में 45 की वृद्धि हुई।^o/s प्रति 1 सेकंड।

2. प्रोपेलर प्रारंभ में 180 डिग्री के कोणीय वेग से घूमता है।^o/s, 2 सेकंड बाद यह घूमना बंद कर देता है। कितने औसत कोणीय मंदी पवनचक्की?
विचार-विमर्श
औसत पर, उच्च कोणीय वेग पवनचक्कियों की संख्या में 90% की कमी आई है।^o/s प्रति 1 सेकंड।

तात्कालिक कोणीय त्वरण
तात्कालिक कोणीय त्वरण को आमतौर पर कोणीय त्वरण के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। तात्कालिक कोणीय त्वरण बहुत कम समय अंतराल में कोणीय वेग में होने वाला परिवर्तन है। गणितीय रूप से:

वृत्ताकार गति की अवधि और आवृत्ति
आवर्तकाल किसी कण द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले समय को दर्शाता है, जबकि आवृत्ति प्रति सेकंड चक्करों की संख्या को दर्शाती है।
आवर्तकाल और आवृत्ति के बीच संबंध को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
एफ = 1 / टी
आवर्तकाल की अंतर्राष्ट्रीय इकाई सेकंड है, जबकि आवृत्ति की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली इकाई 1/सेकंड या हर्ट्ज़ है।

वेग और कोणीय वेग
वृत्त में गतिमान कण के स्पर्शरेखीय वेग और कोणीय वेग को आवर्तकाल और आवृत्ति के पदों में व्यक्त किया जा सकता है।
वृत्ताकार गति कर रहे कण के वेग का परिमाण निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
वृत्त में गतिमान कण के कोणीय वेग का परिमाण निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
टिप्पणी:

समस्याओं का उदाहरण

1. दो पहिए A और B, जिनमें क्रमशः 20 और 50 दांत हैं, इस प्रकार संपर्क में रखे गए हैं कि प्रत्येक गियर युग्मित है। यदि पहिया A एक सेकंड में 50 बार घूमता है, तो पहिया B का कोणीय वेग क्या होगा?

विचार-विमर्श

यह ज्ञात है:

पहिया A पर दांतों की संख्या = 20

पहिया B पर दांतों की संख्या = 50

पहिए A का कोणीय वेग ( ωA ₎ = 50 चक्कर/सेकंड

1 चक्कर = 2π रेडियन

(50)(2π रेडियन)/सेकंड = 100π रेडियन/सेकंड

प्रश्न: पहिए B का कोणीय वेग ( ωB ₎

उत्तर:

पहिए A की रेखीय गति: v _A = r _A ω _A

पहिए B का रेखीय वेग: v _B = r _B ω _B

दोनों पहिए आपस में संपर्क में हैं, इसलिए उनकी रेखीय गति समान है।

v _A = v _B

r _A ω _A = r _B ω _B

(20)( 100π रेड/सेकंड) = (50)(ω _बी )

(2)(100π रेडियन/सेकंड) = (5)(ω _बी )

(2)(20π रेडियन/सेकंड) = ω _B

ω _B = 40π रेडियन/सेकंड

2. सोल यूएन एसएमए/एमए 2017

निम्नलिखित चित्र को देखिए।

एक मोटरसाइकिल सड़क के किनारे से α (tan α = 2/5) के झुकाव कोण वाले एक वक्र पर चल रही है । मोटरसाइकिल को फिसलने से रोकने के लिए अधिकतम गति 20 ^ms⁻¹ है । वक्र की त्रिज्या क्या है?

ए. 50 मीटर

बी. 100 मीटर

सी. 200 मीटर

डी. 250 मीटर

पूर्व 400 मीटर

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

अधिकतम गति (v) = 20 मीटर/सेकंड

स्पर्शरेखा α = 2/5

स्थैतिक घर्षण गुणांक (μs ₎ = स्पर्शरेखा α = 2/5

प्रश्न: मोड़ की त्रिज्या (r)

उत्तर :

अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र:

टिप्पणी:

a = अभिकेन्द्रीय त्वरण, v = वेग, _r = वक्रता त्रिज्या

किसी कार के मुड़ने पर उस पर लगने वाला एकमात्र परिणामी क्षैतिज बल स्थैतिक घर्षण है। स्थैतिक घर्षण का सूत्र इस प्रकार है:

टिप्पणी:

f = स्थैतिक घर्षण बल, μ = स्थैतिक _{घर्षण गुणांक} , w = भार, m = द्रव्यमान, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

वृत्ताकार गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का सूत्र:

सही जवाब बी है।

3. सोल यूएन एसएमए/एमए 2017

नीचे दिखाए अनुसार चारों पहिए आपस में जुड़े हुए हैं!

त्रिज्या R_A = 6 सेमी, आर_B = 3 सेमी, आर_C = 2 सेमी और आर_D = 5 सेमी और पहिया A 3 मिलीसेकंड की रैखिक गति से घूमता है।^-1तो पहिया D का कोणीय वेग होगा…

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

R _A = 6 सेमी = 0,06 मीटर, R _B = 3 सेमी = 0,03 मीटर, R _C = 2 सेमी = 0,02 मीटर, R _D = 5 सेमी = 0,05 मीटर।

v _A = 3 ms ^-1

प्रश्न: पहिए D का कोणीय वेग ( ωD ₎

उत्तर :

पहिया A का कोणीय वेग:

v _A = r _A ω _A

ω _ए = वी _ए / आर _ए = 3 / 0,06 = 50 रेड/सेकेंड

पहिए A और B समान कोणीय वेग से घूमते हैं।

ω _A = ω _B = 50 रेडियन/सेकंड

पहिया B का कोणीय वेग:

ω _B = 50 रेडियन/सेकंड

पहिया B का रेखीय वेग:

v _B = r _B ω _B

v _B = (0,03)(50 रेडियन/सेकंड)

v _B = 1,5 m/s

पहिया B और पहिया C की रेखीय गति समान है।

v _B = v _C = 1,5 m/s

पहिया C और पहिया D की रेखीय गति समान है।

v _C = v _D = 1,5 m/s

पहिए D का कोणीय वेग:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 रेडियन/सेकंड