परवलयिक गति का उदाहरण

परवलयिक गति से संबंधित प्रश्नों के 7 उदाहरण

1. एक गोली 20 ^ms⁻¹ के वेग से दागी जाती है । यदि उन्नयन कोण 60 ^° है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 ms⁻² ^है , तो गोली कितने समय बाद अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचती है?

ए. 1 सेकंड

बी. 2 सेकंड

सी. √3 सेकंड

डी. 2√3 सेकंड

ई. 3√2 सेकंड

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

गोली का प्रारंभिक वेग (v _o ) = 20 ms ^–1

उन्नयन कोण (θ) = 60 ^° सेल्सियस

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m s ^–2

प्रश्न: गोली को अपने उच्चतम बिंदु तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल क्या है?

उत्तर :

क्षैतिज दिशा (x-अक्ष) में गोली का प्रारंभिक वेग:

वी _बैल = वी _ओ कॉस 60 ^ओ = (20)(0,5) = 10 मी/से

ऊर्ध्वाधर दिशा (y-अक्ष) में गोली का प्रारंभिक वेग:

v _oy = v _o पाप 60 ^o = (20)(0,5√3) = 10√3 m/s

किसी गोली को उसकी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगने वाले समय की गणना करने के लिए, गोली के दागे जाने से लेकर उसकी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने तक की गति का अध्ययन करें। अपने उच्चतम बिंदु पर, गोली दिशा बदलने से पहले क्षण भर के लिए रुकती है, इसलिए उच्चतम बिंदु पर उसका वेग शून्य होता है (v _ty = 0)।

गोली को अपने उच्चतम बिंदु तक पहुंचने में लगने वाले समय अंतराल की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

v _ty = v _oy + gt

टिप्पणी:

v _ty = ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली की अंतिम गति = उच्चतम बिंदु पर गोली की गति = 0 मीटर/सेकंड

v _oy = ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली की प्रारंभिक गति = 10√3 मीटर/सेकंड

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 m/ ^s²

t = समय अंतराल

गोली को अपने उच्चतम बिंदु तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 सेकंड

सही जवाब सी है।

2. एक गोली को _V₀ की गति और α के उन्नयन कोण से दागा जाता है। तब उच्चतम बिंदु पर...

ए. गतिज ऊर्जा शून्य है

बी. अधिकतम गतिज ऊर्जा

सी. अधिकतम संभावित ऊर्जा

डी. कुल शक्ति अधिकतम है

ई. अधिकतम गति

विचार-विमर्श

यदि किसी गोली को प्रारंभिक वेग v₀ और उन्नयन कोण α से दागा जाता है _, तो गोली परवलयिक गति करती है। अधिकतम ऊँचाई पर, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है क्योंकि गोली अपनी अधिकतम ऊँचाई पर होती है। उच्चतम बिंदु पर, गोली क्षैतिज दिशा में गति करती रहती है क्योंकि गोली में गतिज ऊर्जा होती है, यद्यपि इसका मान न्यूनतम होता है। गतिज ऊर्जा न्यूनतम होती है क्योंकि अधिकांश ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

सही जवाब सी है।

3. एक गोलकीपर चित्र में दिखाए गए प्रक्षेप पथ के साथ गेंद को किक मारता है। दूरी X है... (g = 10 ms ^-2 )।

ए. 62,5 मीटर

बी. 31,25 √ 2 मीटर

सी. 31,25 मीटर

डी. 25 √ 2 मीटर

पूर्व 25 मीटर

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 25 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोण (θ) = 45 ^°

पूछा गया: दूरी X

उत्तर :

क्षैतिज दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0,5 √ 2 ) = 12,5 √ 2 m/s

ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:

v _oy = v _o पाप θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0,5 √ 2) = 12,5 √ 2 m/s

परवलयिक गति क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति का संयोजन है। इसलिए, परवलयिक गति का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है मानो यह दो अलग-अलग गतियों से मिलकर बनी हो। क्षैतिज गति का विश्लेषण एकसमान रेखीय गति के रूप में किया जाता है , और ऊर्ध्वाधर गति का विश्लेषण ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति के रूप में किया जाता है ।

गेंद का हवा में रहने का समय अंतराल (t):

सबसे पहले, गेंद द्वारा परवलय के अनुदिश गति करने में लगने वाले समय अंतराल की गणना करें। यह समय अंतराल ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है ।

ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।

ह ज्ञात है कि:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 12,5 √ 2 m/s (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)

ऊंचाई (h) = 0 (जब गेंद अपनी मूल स्थिति में लौट आती है, तो गेंद की ऊंचाई में परिवर्तन शून्य होता है)

प्रश्न: वह समय अंतराल (t) ज्ञात कीजिए जिसके दौरान गेंद एक परवलय के अनुदिश गति करती है।

उत्तर :

_{v o , g, h} दिए गए हैं और t पूछा गया है ताकि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2 हो।}

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = ( 12,5 √ 2 ) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12,5 √ 2 t – 5 t ²

12,5 √ 2 t = 5 t ²

12,5 √ 2 = 5 t

t = 12,5 √ 2 / 5

t = 2,5 √ 2 सेकंड

गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी (X):

क्षैतिज दूरी की गणना एकसमान रैखिक गति के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

ह ज्ञात है कि:

गति (v) = 12,5 √ 2 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 2,5 √ 2 सेकंड

पूछा गया: दूरी

उत्तर :

s = vt = ( 12,5 √ 2 )( 2,5 √ 2 ) = ( 12,5 )( 2,5 )(2) = 62,5 मीटर

सही जवाब क है।

4. गोली को चित्र में दर्शाए गए प्रक्षेप पथ के साथ दागा जाता है (g = 10 ms⁻² ⁾ ।

गोली की अधिकतम ऊंचाई कितनी होगी...

ए. 5 मीटर

बी. 10 मीटर

सी. 20 मीटर

डी. 25 मीटर

पूर्व 30 मीटर

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 20 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोण (θ) = 30 ^°

पूछा गया: अधिकतम ऊंचाई (h max)

उत्तर :

सबसे पहले ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रारंभिक वेग (voy) की गणना _करें :

v _oy = v _o पाप 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0,5) = 10 m/s

ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रारंभिक वेग (v _oy ) प्राप्त करने के बाद , अब ऊर्ध्वाधर गति में अधिकतम ऊँचाई की गणना करने की विधि का उपयोग करके अधिकतम ऊँचाई की गणना करें । ऊर्ध्वाधर गति की समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।

ह ज्ञात है कि:

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)

ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रारंभिक वेग (v _oy ) = 10 m/s (धनात्मक क्योंकि वेग की दिशा ऊपर की ओर है)

अधिकतम ऊंचाई पर गति (v _ty ) = 0

अधिकतम ऊंचाई पर, वस्तु कुछ क्षण के लिए स्थिर रहती है और फिर नीचे की ओर गति करने लगती है। अतः अधिकतम ऊंचाई पर वस्तु का वेग शून्य होता है।

अधिकतम ऊँचाई (h) चाहिए

उत्तर :

क्योंकि ज्ञात राशियाँ v _oy , g और v _{ty हैं} , जबकि पूछी जा रही राशि h है, इसलिए ऊर्ध्वाधर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र इस प्रकार है:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

विवरण: v _t = अंतिम गति, v _o = प्रारंभिक गति, g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण, h = अधिकतम ऊँचाई।

ज्यादा से ज्यादा ऊंचाई:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 घंटे

100 = 20 घंटे

h = 100/20

h = 5 मीटर

अधिकतम ऊंचाई 5 मीटर है।

सही जवाब क है।

5. एक व्यक्ति 20 मीटर की ऊंचाई पर एक गेंद पकड़े हुए है और फिर उसे 5 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से क्षैतिज रूप से आगे की ओर फेंकता है। ज्ञात कीजिए:
(a) गेंद को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
(ख) गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी
(ग) गेंद की गति जब वह जमीन पर गिरती है

विचार-विमर्श

(a) गेंद के जमीन पर पहुंचने का समय अंतराल (t)
इसका हल निकालना ठीक वैसा ही है जैसे मुक्त पतन में किसी वस्तु के लिए समय अंतराल निर्धारित करना।

(ख) गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी

ह ज्ञात है कि:
v_ox = 5 मीटर/सेकंड (क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक गति)
t = 2 सेकंड (गेंद के हवा में रहने का समय अंतराल)
पूछा गया : s
उत्तर :
वी = एस / टी
s = vt = (5)(2) = 10 मीटर
(ग) गेंद की गति जब वह जमीन पर गिरती है (v)_t)
v_ox = वी_tx = वी_x = 5 मी/से
v_ty = …. ?
ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग की गणना उसी प्रकार की जाती है जैसे मुक्त पतन गति में अंतिम वेग की गणना की जाती है।
यह ज्ञात है: v_oy = 0, g = 10, h = 20
पूछा: v_t
उत्तर :

6. गेंद को 30 डिग्री के कोण पर किक किया जाता है।^o एक वस्तु 10 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से खेत की सतह के विरुद्ध चल रही है। ज्ञात कीजिए:
(ए) अधिकतम ऊंचाई
(ख) अधिकतम ऊंचाई पर गेंद की गति
(ग) गेंद को मैदान की सतह तक पहुँचने में लगने वाला समय अंतराल
(d) गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी

विचार-विमर्श

(ए) अधिकतम ऊंचाई
इसका हल एक ऊर्ध्वाधर गति में अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करने जैसा है।
ह ज्ञात है कि:
v_o = 10 मी/से
v_oy = वी_o sin 30 = (10)(0,5) = 5 m/s
g = -10 मीटर/सेकंड²
v_ty = 0
पूछा गया: अधिकतम h
(ख) अधिकतम ऊंचाई पर गेंद की गति
अधिकतम ऊंचाई पर गति = क्षैतिज दिशा में गति = v_x.
v_x = वी_o cos 30 = (10)(0,87) = 8,7 मीटर/सेकंड
(सी) समय अंतराल
इसका हल ऊर्ध्वाधर गति के लिए समय अंतराल निर्धारित करने जैसा है।
ह ज्ञात है कि:
v_oy = वी_o sin 30 = (10)(0,5) = 5 m/s
g = -10 मीटर/सेकंड²
h = 0
पूछा गया: टी
उत्तर :
(d) सबसे दूर की क्षैतिज दूरी
एक्स = वी_x t = (8,7)(1) = 8,7 मीटर

7. गेंद को 10 मीटर ऊँची इमारत के किनारे से फेंका जाता है, जिससे 30° का कोण बनता है।^o क्षैतिज दिशा में 10 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से।
(क) जमीन से मापी गई अधिकतम ऊंचाई
(ख) गेंद को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
(ग) भवन के किनारे से मापी गई सबसे दूर की क्षैतिज दूरी

विचार-विमर्श
(क) जमीन से मापी गई अधिकतम ऊंचाई
इसका हल एक ऊर्ध्वाधर गति में अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करने जैसा है।
जिस इमारत के किनारे से गेंद फेंकी जाती है, उस इमारत के किनारे से गेंद की ऊंचाई की गणना करें।गेंद को फेंकने से लेकर उसकी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने तक की उसकी गति का अवलोकन करें।
ह ज्ञात है कि:
v_o = 10 मी/से
v_oy = वी_o पाप 30^o = (10)(0,5) = 5 मीटर/सेकंड
v_ty = 0 (अधिकतम ऊंचाई पर, वस्तु क्षण भर के लिए स्थिर रहती है)
g = -10 मीटर/सेकंड²
पूछा गया: h

(ख) गेंद को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
इसका हल ऊर्ध्वाधर गति के लिए समय अंतराल निर्धारित करने के समान है। गेंद को फेंकने के क्षण से लेकर जमीन पर पहुँचने तक की उसकी गति पर विचार करें।
ह ज्ञात है कि:
v_o = 10 मी/से
v_oy = वी_o पाप 30^o = (10)(0,5) = 5 मीटर/सेकंड
g = -10 मीटर/सेकंड²
h = -10 मीटर (अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति से 10 मीटर नीचे है)
पूछा गया: टी

समय का मान ऋणात्मक होना असंभव है, इसलिए t = 2 सेकंड।
(ग) सबसे दूर की क्षैतिज दूरी भवन के किनारे से मापी जाती है
v_o = 10 मी/से
v_x = वी_ox = वी_o cos 30 = (10)(0,87) = 8,7 मीटर/सेकंड
t = 2 सेकंड
अधिकतम क्षैतिज दूरी:

s = v _x t = (8,7)(2) = 17,4 मीटर

परवलयिक गति / प्रक्षेप्य गति से संबंधित प्रश्न

1. एक व्यक्ति 5 मीटर की ऊंचाई पर एक गेंद पकड़े हुए है और फिर उसे 2 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से क्षैतिज रूप से आगे की ओर फेंकता है। ज्ञात कीजिए:
(a) गेंद को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
(ख) गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी
(ग) गोली की गति जब वह जमीन पर गिरती है
g = 10 m/s का प्रयोग करें²
उत्तर :
(a) t = 1 s
(b) s = 2 मीटर
(सीवी_t = 10,2 मी/से

2. गेंद को 60 डिग्री के कोण पर किक किया जाता है।^o एक वस्तु 5 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से खेत की सतह के विरुद्ध चल रही है। ज्ञात कीजिए:
(ए) अधिकतम ऊंचाई
(ख) अधिकतम ऊंचाई पर गेंद की गति
(ग) गेंद को मैदान की सतह तक पहुँचने में लगने वाला समय अंतराल
(d) गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी
g = 10 m/s का प्रयोग करें²
उत्तर :
(a) h = 1 मीटर (गोल)
(b) v = v_x = 2,5 मी/से
(सी) टी = 0,87 सेकंड
(d) x = 2,175 मीटर
3. गेंद को 5 मीटर ऊँची इमारत के किनारे से फेंका जाता है, जिससे 60° का कोण बनता है।^o क्षैतिज दिशा में 5 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से।
(क) जमीन से मापी गई अधिकतम ऊंचाई
(ख) गेंद को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
(ग) सबसे दूर की क्षैतिज दूरी भवन के किनारे से मापी जाती है
g = 10 m/s का प्रयोग करें²
उत्तर :
(a) h = 5,95 मीटर
(b) t = 1,5 s
(c) x = 3,75 मीटर

प्रश्न का स्रोत:

सीनियर हाई स्कूल/व्यावसायिक हाई स्कूल के लिए राष्ट्रीय परीक्षा भौतिकी प्रश्न