ʻŌnaehana helu maoli

ʻŌnaehana Helu Maoli

ʻO ka ʻōnaehana helu maoli kekahi o nā manaʻo koʻikoʻi loa i ka makemakika, i hoʻohana ʻia e hōʻike i nā nui āpau a mākou e ʻike ai i ke ola o kēlā me kēia lā, mai ka lōʻihi a me ka nuipa a i ka mahana a i ka wikiwiki a me ka manawa. ʻO nā helu maoli ke kumu no nā lālā like ʻole o ka makemakika e like me ka algebra, geometry, calculus, a me nā helu helu, a ʻo ia hoʻi ka ʻōlelo mua o ka ʻepekema a me ka ʻenekinia. ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i ka ʻōnaehana helu maoli ʻo ia hoʻi ka hoʻomaopopo ʻana pehea e hoʻokaʻawale ʻia ai nā helu, pehea lākou e pili ai kekahi i kekahi, a pehea e hiki ai i ko lākou mau waiwai ke hana i nā helu a me nā kumu hoʻohālike me ke kūlike.

Ke Hoʻomaopopo nei i nā Helu Maoli

ʻO nā helu maoli ka hoʻonohonoho o nā helu āpau i hiki ke kau ʻia ma kahi laina helu. Hoʻokomo pū kēia me nā helu kūpono a me nā helu irrational. Ma ke ʻano naʻau, hoʻokomo pū nā helu maoli i nā helu āpau i hiki ke hōʻike ʻia ma ke ʻano he "waiwai" o kahi nui hoʻomau, no ka laʻana, hiki i ka lōʻihi o kahi papaʻaina ke 1 mika, 1,5 mika, a i ʻole 1,414213 mika.

Hoʻike pinepine ʻia ka hoʻonohonoho o nā helu maoli e ka hōʻailona ℝ. Loaʻa i kēlā me kēia helu maoli kahi kūlana kūikawā ma ka laina helu, inā he maikaʻi ʻole, ʻole, a maikaʻi paha.

Ka Hoʻokaʻawale ʻana o nā Helu ma ka ʻŌnaehana Helu Maoli

ʻAʻole kū hoʻokahi ka ʻōnaehana helu maoli. He hoʻonui ia o kahi ʻōnaehana helu maʻalahi. No ka hoʻomaopopo ʻana, pono mākou e nānā i ka hoʻokaʻawale ʻana o nā helu e hana ana iā ia.

1. Nā Helu Kūlohelohe

Hoʻike pinepine ʻia nā helu kūlohelohe e ℕ. Hoʻohana ʻia kēia mau helu e helu i nā mea a ma ke ʻano laulā e komo pū me:
1, 2, 3, 4, 5, …

Ma kekahi mau wehewehena, ua hoʻokomo pū ʻia ka 0 i nā helu kūlohelohe, akā ma ka hana hoʻonaʻauao, hana pinepine ʻia kahi ʻokoʻa ma waena o nā helu holoʻokoʻa a me nā helu kūlohelohe.

2. Nā Helu Holoʻokoʻa

Hoʻokomo pū ʻia nā helu holoʻokoʻa me nā helu kūlohelohe me ka ʻole:
0, 1, 2, 3, 4, …

He mea pono nā helu holoʻokoʻa ke pono mākou e hōʻike i ka "mea ʻole" (ʻole) i loko o kahi pōʻaiapili helu.

3. Nā helu piha

Ua hōʻailona ʻia nā helu piha e ℤ a hoʻokomo pū i nā helu holoʻokoʻa a me kā lākou mau maikaʻi ʻole:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

He mea nui nā helu piha no ka hōʻike ʻana i nā kūlana e pili ana i nā kuhikuhi a i ʻole nā ​​waiwai "ma lalo o ka ʻole," e like me ka mahana ma lalo o ka hau, ka ʻaiʻē, a i ʻole ke kiʻekiʻe ma lalo o ka ʻilikai.

4. Nā Helu Kūpono

Hōʻike ʻia nā helu rational e ℚ. He helu kēia i hiki ke kākau ʻia ma ke ʻano hakina:
\[
\frac{p}{q}
\]
me nā helu piha \(p\) a me \(q\), a me \(q \neq 0\).

Nā laʻana o nā helu kūpono:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– Hiki ke kākau ʻia ʻo 2 e like me \(\frac{2}{1}\)

ʻO kahi hiʻohiʻona koʻikoʻi o nā helu rational, ʻo ia ka pau ʻana a i ʻole ka hana hou ʻana o ko lākou ʻano decimal. Eia kekahi laʻana:
– 0,25 mau kū
– 0,333… hana hou ʻia

5. Nā Helu Kūpono ʻole

ʻO nā helu irrational he mau helu maoli ia ʻaʻole hiki ke hōʻike ʻia ma ke ʻano \(\frac{p}{q}\) kahi ʻo \(p\) a me \(q\) he mau helu piha. ʻAʻole e pau ke ʻano decimal a ʻaʻole hoʻi e hana hou ʻia.

Nā hiʻohiʻona o nā helu irrational:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)

Hoʻike pinepine ʻia nā helu irrational i ke geometry (e laʻa, ke kumu huinaha o kahi diagonal) a me ka loiloi makemakika.

6. Nā Helu Maoli

ʻO nā helu maoli ka hui pū ʻana o nā helu kūpono a me nā helu irrational:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{irrational})
\]
I nā huaʻōlelo ʻē aʻe, ʻo nā helu a pau i hiki ke hōʻike ʻia ma kahi laina helu he mau helu maoli.

Ka Laina Helu a me ke Manaʻo o ka Density

ʻO kekahi o nā ala maikaʻi loa e hoʻomaopopo ai i nā helu maoli ma o ka laina helu. Ma kēia laina, hōʻike kēlā me kēia kiko i kahi helu maoli. ʻO ka mea hoihoi, ma waena o nā helu maoli ʻelua, aia mau kekahi helu maoli ʻē aʻe. No ka laʻana, ma waena o 1 a me 2 he 1,5; ma waena o 1,5 a me 2 he 1,75; a pēlā aku no ka manawa pau ʻole.

Ua kapa ʻia kēia ʻano he density. Ua like ka paʻa o nā helu rational a me nā helu irrational ma ka laina helu: ma waena o nā helu maoli ʻelua, he nui nā helu rational a me nā helu irrational he nui loa.

Nā Hana Kumu ma nā Helu Maoli

Kākoʻo nā helu maoli i nā hana makemakika maʻamau:

1. Hoʻohui: \(a + b\)
2. Hoʻemi: \(a – b\)
3. Hoʻonui: \(a \times b\)
4. Māhele: \(a \div b\), me ke kūlana \(b \neq 0\)

He mau hana koʻikoʻi kēia e like me:
– Hoʻololi: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– Hoʻohui: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– Hoʻolaha: \(a(b + c) = ab + ac\)
– Loaʻa ka ʻike: 0 no ka hoʻohui, 1 no ka hoʻonui
– Loaʻa kahi inverse: \(-a\) no ka hoʻohui ʻana, \(\frac{1}{a}\) no ka hoʻonui ʻana (no \(a \neq 0\))

Hoʻolilo kēia mau waiwai i nā helu maoli i mea paʻa loa e like me kahi ʻōnaehana no ka helu ʻana.

Kauoha a me ka Waiwai Loa

Loaʻa i nā helu maoli kahi pilina kauoha. Hiki iā mākou ke hoʻohālikelike i ʻelua mau helu maoli me ka hōʻailona aʻe:
– ʻoi aku ka liʻiliʻi o \(<\) - ʻoi aku ka nui o \(>\)
– ʻOi aku ka liʻiliʻi a i ʻole like me \(\le\)
– ʻOi aku ka nui o \(\ge\) ma mua o a like paha me

Eia kekahi, aia ke kumumanaʻo o ka waiwai paʻa e hōʻike ana i ka mamao o kahi helu mai ka ʻole:
\[
|a| =
nā hihia
a, & \text{inā } a \ge 0 \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] No ka laʻana, \(|-5| = 5\) a me \(|3| = 3\).

Hoʻohana pinepine ʻia ka waiwai paʻa i loko o ka pōʻaiapili o ka mamao, ka hoʻomanawanui hewa, a me ka nānā ʻana i ka like ʻole. Ke Kuleana o nā Helu Maoli i ke Ola a me ka ʻEpekema He mea koʻikoʻi nā helu maoli no ka mea he nui nā hanana o ka honua maoli e hoʻomau nei. ʻAʻole i kaupalena ʻia nā ana o ka lōʻihi, ka manawa, ka nuipa, a me ka mahana i nā helu holoʻokoʻa akā koi i nā hapa a me nā waiwai decimal, hiki ke lōʻihi loa. I ka physics, no ka laʻana, ʻo ka wikiwiki ma muli o ke umekaumaha, 9,8 m/s², he helu maoli. I ka hoʻokele waiwai, hōʻike ʻia nā uku paneʻe, ka hoʻonui ʻana o ka inflation, a me nā uku hoʻololi i nā helu maoli. I ka ʻenekinia, hoʻohana nā helu hoʻolālā āpau i nā helu maoli. I ka makemakika holomua e like me ka calculus, hiki i nā helu maoli ke hoʻokumu i nā manaʻo o nā palena, nā derivatives, a me nā integrals. ʻAʻole hiki ke hoʻokumu maikaʻi ʻia kēia mau manaʻo me nā helu rational wale nō, no ka mea, ʻo ka hoʻomau a me ka piha ʻana o nā helu maoli ke kuleana koʻikoʻi. Hopena ʻO ka ʻōnaehana helu maoli ka hoʻonohonoho o nā helu e komo pū ana me nā helu rational a me nā helu irrational, a me nā helu āpau i hiki ke hōʻike ʻia ma ka laina helu. Me kona ʻano waiwai—mai nā hoʻokaʻawale helu, a i nā waiwai o nā hana, a i ke kumumanaʻo o ka nui, a i ke kauoha—he kia waena nā helu maoli o ka makemakika hou a me kāna mau noi ma nā ʻano like ʻole. ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i nā helu maoli ʻaʻole wale e kōkua i ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia makemakika akā e hoʻomaʻamaʻa pū i ka noʻonoʻo kūpono a me ka pololei i ka wehewehe ʻana i nā hanana o ke ao maoli. Inā makemake ʻoe, hiki iaʻu ke hoʻokomo i kahi ʻāpana me nā pilikia hoʻohālike a me kahi kūkākūkā pōkole o nā helu kūpono vs. irrational, a i ʻole kahi hōʻuluʻulu manaʻo ma ke ʻano o kahi palapala manaʻo.